Runur og raðir

Dæmi 21. Neðra stig 1996-97

Reitir í $n \times n$ borði eru númeraðir með tölunum frá $1$ upp í $n^2$ á sama hátt og sýnt er í dæminu fyrir $n=5$ hér til hliðar. Nú er valin ein tala úr hverri röð, en þó þannig að engar tvær þeirra séu í sama dálki. Hvaða útkomur eru mögulegar þegar völdu tölurnar eru lagðar saman?

Lausn

Hver reitur ákvarðast af dálknúmeri sínu, $i$, á bilinu frá $1$ upp í $n$, og línunúmeri sínu, $j$, sem við veljum þannig að fyrsta röðin fær númerið $0$, svo að $j$ liggur á bilinu frá $0$ upp í $n-1$. Talan í reit með dálknúmeri $i$ og línunúmeri $j$ er þá $i+jn$. Hvert dálknúmer kemur nákvæmlega einu sinni fyrir og hvert línunúmer kemur líka nákvæmlega einu sinni fyrir í völdu tölunum svo að summan verður $$ \begin{aligned} &\underbrace{1+2+\cdots+n}_{\text{dálknúmer}} +\underbrace{0+n+2n+\cdots+(n-1)n}_{\text{línunúmer}} \\ =&(1+2+\cdots+n)+(0+1+\cdots+(n-1))n\\ =&\frac{1}{2}n(n+1)+\frac{1}{2}(n-1)n^2 \\ =&\frac{1}{2}n(n^2+1). \end{aligned} $$ Þegar $n=5$, þá er svarið $65$.

Dæmi 4. Úrslitakeppni 1995-96

Um rununa $\{ a_n\}$ er gefið að $$ a_{n+1}=\dfrac {a_n}{1+na_n} \quad\quad \text{ og } \quad\quad a_1=1. $$ Finnið $a_{1996}$.

Lausn

Setjum $b_n=1/a_n$. Þá er $$ b_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1+n a_n}{a_n}=\frac{1}{a_n}+n=b_n+n.$$ Með einfaldri þrepasönnun fæst að $$b_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}k=1+\frac{1}{2}n(n-1)$$ og þar með að $a_n=\frac{2}{2+n(n-1)}$. Svarið er því $$ \begin{aligned} a_{1996}&=\frac{2}{2+1996\cdot 1995} =\frac{2}{2+(2000-4)(2000-5)}\\ &=\frac{2}{2+4.000.000-18.000+20} =\frac{1}{2.000.000-9.000+11}\\ &=\frac{1}{1.991.011} \end{aligned} $$

Dæmi 12. Neðra stig 1995-96

Faraóinn Jörmunrekur II var búinn að láta höggva $1000$ teningslaga steinblokkir, allar jafnstórar. Úr þessum blokkum átti að reisa píramíta með ferningslaga grunni. Fyrsti píramítinn sem var reistur var tveggja hæða, svo var reistur þriggja hæða og svo koll af kolli (sjá mynd). Þegar framkvæmdir höfðu staðið yfir um skeið uppgötvaði Jörmunrekur að hann ætti ekki eftir nógu margar blokkir til að klára næsta píramíta.

Lausn

Það þarf $1+2^2=5$ blokkir í fyrsta píramítann, $1+2^2+3^2=5+9=14$ blokkir í þann næsta, $1+2^2+3^2+4^2=14+16=30$ í þann þriðja og svo framvegis. Ef $a_n$ táknar fjölda blokka sem þarf í $n$—hæða píramíta, þá sjáum við að $a_n=a_{n-1}+n^2$ því við getum alltaf fengið hvern píramíta með því að skella $n^2$ blokkum undir þann næsta á undan. Reiknum nú nokkur fyrstu gildin á $a_n$. Höfum þegar séð að $a_2=5$, $a_3=14$ og $a_4=30$. Ef við höldum áfram fáum við $a_5=30+25=55$, $a_6=55+36=91$, $a_7=91+49=140$, $a_8=140+8^2=204$, $a_9=204+81=285$, $a_{10}=285+10^2=385$. Nú er $a_2+a_3+\cdot+a_9=824$ og $a_{10}=385\gt 176=1000-824$ svo Jörmunrekur á $176$ blokkir eftir þegar hann hefur lokið við 9 hæða píramítann en þarf $385$ til að klára þann $10$ hæða.

Login to post comments
Lesa meira

Dæmi 17. Neðra stig 1995-96

Skrifum samlægar sléttar tölur, $31$ talsins, í röð þannig að síðasta talan sé jöfn summu $13$. og $15$. talnanna. Hver er miðtalan í röðinni?

Lausn

Ef við höfum $31$ slétta tölu í röð, þá getum við skrifað þær sem $$2(n+1), 2(n+2),\ldots, 2(n+31).$$ Tala númer 13 er þá $2(n+13)$ og númer 15 er $2(n+15)$. Ef síðasta talan, $2(n+31)$, er jöfn summu $13$. og $15$. tölunnar, þá er $2(n+31)=2(n+13)+2(n+15)$ svo að $31=n+28$ og þá $n=3$. Þá er talan í miðjunni, tala númer 16, jöfn $2( 3+16)=2\cdot 19=38$.

Dæmi 20. Neðra stig 1995-96

Talnamengin $A_1, A_2, A_3,\ldots$ eru mynduð samkvæmt eftirfarandi mynstri: $$A_1=\{1\},\, A_2=\{2, 3\},\, A_3=\{4, 5, 6\},\, A_4=\{7, 8, 9, 10\}, \ldots$$ Hver er summa talnanna í menginu $A_{21}$?

Lausn

Sjáum að í mengi $A_n$ eru $n$ tölur og minnsta talan er næsta tala á eftir $1+2+\cdots+(n-1)$. Nú er $1+2+\cdots+20=21\cdot 10=210$ svo $A_{21}=\{211,212,\ldots,231\}$. Summa talnanna í $A_{21}$ er þá $$211+212+\cdots+231=\frac{1}{2}\cdot (211+231)\cdot 21=221\cdot 21=4641.$$

Dæmi 19. Neðra stig 1994-95

Notaðar eru eldspýtur til að búa til myndir eins og hér til hliðar. Ef haldið er áfram á sama hátt, hvað þarf þá margar eldspýtur til að búa til svona mynd með 10 eldspýtur á hverri hlið?

Lausn

Athugum að við getum búið til myndina með hliðarlengd $n$ út frá mynd með hliðarlengd $n-1$ með því að raða þríhyrningum sem eru búnir til úr þremur eldspýtum á hvern punkt á einni hliðinni sem hefur lengd $n-1$. Ef $a_n$ táknar fjölda eldspýta sem þarf til að búa til mynd með hliðarlengd $n$, þá er því $a_n=a_{n-1}+3(n-1)$. Fáum að $$ \begin{aligned} a_{10}&=a_9+3\cdot 9=a_8+3\cdot 8+3\cdot 9=\cdots=a_1+3\cdot (2+3+\cdot+10)\\ &=3\cdot (1+2+\cdots+10)=3\cdot 5\cdot 11=150+15=165. \end{aligned} $$

Dæmi 16. Neðra stig 1992-93

Fimmtíu sléttar tölur í röð eru lagðar saman. Út kemur $3250$. Hver var stærsta talan?

Lausn

Ritum tölurnar sem $2k, 2(k+1),\ldots, 2(k+49)$. Þá er $$ \begin{aligned} 3250&=2k+2(k+1)+\cdots+2(k+49)\\ &=\frac{1}{2}\cdot 50(2k+2(k+49))=50(2k+49) \end{aligned} $$ og því er $2k+49=3250/50=65$. Þá er síðasta talan $$2(k+49)=(2k+49)+49=65+49=114.$$

Dæmi 9. Neðra stig 1991-92

Algebrulegu stærðunum $2x+1$, $2x-3$, $x+2$, $x+5$ og $x-3$ má raða upp þannig að summa þriggja fyrstu er $4x+3$ og summa þriggju síðustu er $4x+4$. Stærðin í miðjunni er þá

Lausn

Látum $y_1,\, y_2,\, y_3,\, y_4,\, y_5$ vera slíka röðun. Þá er summa þeirra $$y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=7x+2$$ og summa þriggju fyrstu og þriggja seinustu er $$(y_1+y_2+y_3)+(y_3+y_4+y_5)=(4x+3)+(4x+4)=8x+7.$$ En þá er miðstærðin $y_3=(8x+7) - (7x+2)=x+5$.

Dæmi 20. Neðra stig 1991-92

Talan $(1^2+3^2+5^2+\cdots+99^2)-(2^2+4^2+6^2+\cdots+100^2)+ (4+8+12+\cdots+200)$ er jöfn

Lausn

Ef við tökum saman $k$-tu liðina í hverjum sviga, þá eru þeir $$(2k-1)^2-(2k)^2+4k=-4k+1+4k=1.$$ Þeir eru 50 talsins, svo summan er 50.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 21. Neðra stig 1996-97

Dæmi 4. Úrslitakeppni 1995-96

Dæmi 12. Neðra stig 1995-96

Dæmi 17. Neðra stig 1995-96

Dæmi 20. Neðra stig 1995-96

Dæmi 19. Neðra stig 1994-95

Dæmi 16. Neðra stig 1992-93

Dæmi 9. Neðra stig 1991-92

Dæmi 20. Neðra stig 1991-92

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK