Setjum $a_i=ix-[ix]$, fyrir $i=1,2,\ldots,99$. (Hér táknar $[x]$ stærstu heilu tölu sem er minni en eða jöfn $x$.) Við sjáum að $0\leq a_i\lt 1$ fyrir öll $i$. Skiptum nú bilinu $[0,1[$ í 100 bil, $s_1$ til $s_{100}$ þannig að $s_j=[\frac{j-1}{100}, \frac{j}{100}[$. Gerum nú ráð fyrir að tilgátan sem á að sanna sé röng og leiðum fram mótsögn. Nú er ekki til $i$ þannig að $0\leq a_i\leq \frac{1}{100}$ eða $\frac{99}{100}\leq a_i\lt 1$ því þá væri tilgátan sönn. Engin af tölunum $a_i$ lendir þá í $s_1$ eða $s_{100}$ og því skiptast þessar $99$ tölur niður á 98 bil ($s_2$ til $s_{99}$) og samkvæmt skúffureglu Dirichlets lenda einhverjar tvær tölur í sama bili. (Skúffuregla Dirichlets segir að ef við röðum hlutum í skúffur sem eru færri en hlutirnir, þá lendi a.m.k. tveir hlutir í einhverja skúffu.) Segjum að $a_i$ og $a_j$ lendi í sama bili og $i\lt j$. Þá er $|a_i-a_j|\lt \frac{1}{100}$. En $$|a_i-a_j|=|jx-[jx]-(ix-[ix])|=|(j-i)x-([jx]-[ix])|$$ svo að $$|(j-i)x-([jx]-[ix])| \lt \frac{1}{100}.$$ En þetta jafngildir því að munurinn á $(j-i)x$ og einhverri heiltölu (nefnilega $[jx]-[ix]$) er minni en $\frac{1}{100}$ og $(j-i)x$ er einmitt ein af tölunum $x, 2x,\ldots, 99x$, því $99\geq j\lt i\geq 1$.

Ef við beitum reglu Pýþagorasar á þríhyrningana $B H C$ og $A H C$ fæst $$a^2-|BH|^2=|CH|^2=b^2-|AH|^2$$ svo $b^2-a^2=|AH|^2-|BH|^2$. Við vitum einnig að $$|M H|=|A H|-|A M|\quad \text{og}\quad |M H|=|B M|-|B H|$$ því $b\geq a$. Ef við leggjum þessar tvær jöfnur saman fæst $$ 2|M H|= |A H|-|A M|+|B M|-|B H|=|A H|-|B H|$$ þar sem $|A M|=|B M|$. Af þessu sést að $$ \begin{aligned} \frac{b^2-a^2}{2c} &= \frac{|A H|^2-|B H|^2}{2 c} = \frac{(|A H|+|B H|)(|A H|-|B H|)}{2c}\\ &= \frac{c(|A H|-|B H|)}{2c} = \frac{|A H|-|B H|}{2}\\ &= |M H|. \end{aligned} $$

Þar sem við höfum aðeins áhuga á hlutföllum getum við gert ráð fyrir að hliðarlengd teningsins sé $1$. Yfirborðsflatarmál hans er þá $6$. Hliðarfletir áttflötungsins eru átta jafnhliða þríhyrningar. Brúnalengd áttflötungsins má finna með því að skoða rétthyrndan jafnarma þríhyrning sem hefur sem hornpunkta tvo samliggjandi hornpunkta áttflötungsins ásamt miðpunkti þeirrar brúnar teningsins sem liggur á milli þeirra. Lengd skammhliðanna er $\frac{1}{2}$ svo langhliðin, sem er brúnalengd áttflötungsins, er $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Flatarmál jafnhliða þríhyrnings sem hefur hliðar-lengd $\frac{\sqrt{2}}{2}$ er $\frac{\sqrt{3}}{8}$. Yfirborðsflatarmál áttflötungsins er þá $\sqrt{3}$ svo að hlutfallið milli yfirborðsflatarmáls áttflötungsins og teningsins er $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Við reiknum stærðir bogana $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4$ o.s.frv.\ réttsælis eftir hringnum. Þá er boginn $A_jA_{j+1}=66+4j$ gráður. Punkturinn $A_n$ lendir í $A_1$ þá og því aðeins að jafnan $\sum_{j=1}^{n-1}A_jA_{j+1}=360h$ standist fyrir einhverja heila tölu $h$. Nú er $$ \begin{aligned} \sum_{j=1}^{n-1}A_jA_{j+1}&=\sum_{j=1}^{n-1}(66+4j) =66(n-1)+4\cdot\frac12 n(n-1)\\ &=(n-1)(66+2n). \end{aligned} $$ Jöfnuna hér að ofan, sem segir til um hvort $A_n=A_1$, má því rita sem $(n-1)(66+2n) = h\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 5$, eða sem $(n-1)(33+n)=h\cdot 2^2\cdot 3^2\cdot 5$. Nú eru $n-1$ og $33+n$ annað hvort báðar sléttar tölur eða báðar odda, og þar sem margfeldi þeirra er slétt, þá eru þær báðar sléttar. Einnig er $(33+n)-(n-1)=34$ svo 3 getur ekki gengið upp í bæði $33+n$ og $n-1$ því þá gengi 3 einnig upp í 34. Þá er annaðhvort 9 þáttur í $33+n$ eða þá 9 þáttur í $n-1$. Þegar við tökum þetta saman fáum við að $n=18k+1$ eða þá að $n=18k-33$. Fyrstu möguleg gildi $n$ eru þá $3, 19, 21, 37$. Við prófum $n=3$ og fáum $(n-1)(n+33)=2\cdot 35$ sem 4 er ekki þáttur í svo sá möguleiki kemur ekki til greina. Næst prófum við $n=19$ og fáum að $(n-1)(n+33)=18\cdot 52$ sem 5 er ekki þáttur í svo þessi möguleiki kemur ekki heldur til greina. Hinsvegar fæst fyrir $n=21$ að $(n-1)(n+33)=20\cdot 54=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 6$ svo $h=6$ og $A_{21}=A_1$.