Efra stig | stæ.is

Dæmi 19 Efra stig 1997-1998

Í Maraþonhlaupi (42 km) eru 11 drykkjarstöðvar fyrir keppendur. Köllum drykkjar-stöð-varnar $A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K$, og gerum ráð fyrir að þær raðist meðfram hlaupabrautinni eins og sýnt er á myndinni. Drykkjarstöð $A$ er við upphaf brautarinnar og drykkjarstöð $K$ við enda brautarinnar. Stöðvunum er raðað þannig að samanlögð lengd tveggja sam-liggjandi bila á milli stöðva sé ekki meiri en 10 km, og að samanlögð lengd þriggja samliggjandi bila er að minnsta kosti 13 km.

Lausn

Lausn: Við höfum að $$ |AB|+|BC|+|CD|+|DE|+|EF|$$ $$+|FG|+|GH|+|HI|+|IJ|+|JK|=42. $$ Vegna þess að samanlögð lengd þriggja samliggjandi bila er aldrei minni en 13, þá er $$ (|BC|+|CD|+|DE|)+(|EF|+|FG|+|GH|)$$ $$+(|HI|+|IJ|+|JK|)\geq 39. $$ Af þessu leiðir að $|AB|\leq 3$. Við höfum einnig að $|AB|+|BC|+|CD|\geq 13$, svo að $|BC|+|CD|\geq 10$. En lengd tveggja samliggjandi bila er ekki meiri en 10, svo $|BC|+|CD|=10, |AB|=3$ og $|AB|+|BC|+|CD|=13$. Ef litið er aftur á fyrstu jöfnuna hér að ofan sést að $$|DE|+|EF|+|FG|+|GH|+|HI|+|IJ|+|JK|=29,$$ en með því að nota aftur að lengd þriggja samliggjandi bila er aldrei minni en 13 sést að $$(|EF|+|FG|+|GH|)+(|HI|+|IJ|+|JK|)\geq 26,$$ svo $|DE|\leq 3$. Eins og áður fæst nú að $|DE|=3$ og $|EF|+|FG|=10$. Nú er bilið milli $B$ og $G$ jafnt $$ |BC|+|CD|+|DE|+|EF|+|FG|$$ $$=(|BC|+|CD|)+|DE|+(|EF|+|FG|)$$ $$ =10+3+10=23. $$

Login to post comments
Lesa meira

Dæmi 18 Efra stig 1997-1998

Gefinn er kúptur fimmhyrningur $ABCDE$. Hann er svo þaninn út og búinn til nýr fimmhyrningur $A’B’C’D’E’$. Horn þess nýja eru jafnstór hornum þess gamla, og samsvarandi hliðar í þeim gamla og þeim nýja eru samsíða og fjarlægð á milli þeirra er í öllum tilvikum $4$. Sýnið að ummál fimmhyrningsins $A’B’C’D’E’$ er að minnsta kosti $8\pi$ stærra en ummál upphaflega fimmhyrningsins $ABCDE$.

Lausn

Látum $a, b, c, d, e$ vera eins og sýnt er á myndinni. Þá er $a=|AB|$, $b=|BC|$, $c=|CD|$, $d=|DE|$ og $e=|EA|$ þar sem um er að ræða samsíða hliðar í rétthyrningum. Það sem eftir er af ummáli fimmhyrningsins má nálga með fimm hringbogum eins og sýnt er á myndinni. (Sú nálgun gefur þó minni tölu en hið raunverulega ummál rétthyrningsins.) Þegar þessum fimm hringbogum er skeytt saman fæst hringur með geisla 4 og ummál hans er því $8\pi$. Höfum því að ummál stóra fimmhyrningsins er minna en $a+b+c+d+e+8\pi$, en $a+b+c+d+e$ er einmitt ummál minni fimmhyrningsins og því mismunur ummálanna minni en $8\pi$.

Dæmi 17 Efra stig 1997-1998

Á stofugólfinu er ljótur hringlaga blettur sem hefur flatarmálið $1$. Sýnið að hægt er að hylja blettinn með þremur ferningslaga mottum sem hver hefur flatarmálið $1$ (án þess að klippa motturnar í sundur).

Lausn

Við sýnum að það er meira að segja hægt að þekja blettinn með tveimur mottum.

Ef $r$ er geisli blettsins, þá er flatarmál hans $\pi r^2=1$ og því $r=\frac{1}{\sqrt\pi}$. Látum $O$ vera miðpunkt hringsins og $ABCD$ vera aðra mottuna. Við leggjum hana nú þannig að hringurinn snerti hliðarnar $AB$ og $BC$. Við látum $Q$ vera fótpunkt þverilsins gegnum $O$ á hliðina $AD$. Nú er $1\gt 1/\sqrt{\pi}$ þar sem $\pi\gt 1$ og því er $O$ innaní ferningnum. Einnig er þvermál hringsins $2/\sqrt{\pi}$, sem er stærra en 1 þar sem $\pi\lt 4$, og því er $Q$ innaní hringnum og $|OQ|=1-1/\sqrt{\pi}$. Þá sker hringurinn strikið $AQ$ í punkti $P$. Regla Pýþagorasar gefur nú að $$ |PQ|^2=|OP|^2-|OQ|^2=\frac{1}{\pi}-\left(1-\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2 =\frac{2}{\sqrt{\pi}}-1.$$

Við leggjum nú hina mottuna $A’B’C’D’$ þannig að hringurinn snerti hliðarnar $A’D’$ og $C’D’$ í punktum gengt snertipunktum hinnar mottunnar við hringinn. Til að sýna að motturnar hylji nú blettinn nægir augljóslega að sýna að punkturinn $P$ lendi undir seinni mottunni, það er að $P$ sé í minni fjarlægð en 1 frá hliðinni $C’D’$, það er að $$|PQ|+\frac{1}{\sqrt{\pi}}\lt 1.$$ Við þurfum þá að sýna að $$ \frac{2}{\sqrt{\pi}}-1=|PQ|^2\lt \left(1-\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2$$ sem jafngildir $$ 0\lt 2\pi-4\sqrt{\pi}+1=2(\sqrt{\pi}-1)^2-1$$ svo okkur nægir að sýna að $(\sqrt{\pi}-1)^2\gt 1/2$. Við vitum að fyrstu þrír stafir $\pi$ eru $\text{3,14}$. Nú er $\text{1,75}^2=(2-\text{0,25})^2=4-1+\text{0,125}=\text{3,125}$ svo að $\text{1,75}\lt \sqrt{\pi}$ og því $\sqrt\pi-1\gt 0,75$. En $\text{0,75}^2=(1-\text{0,25})^2=1-\text{0,5}+\text{0,125}\gt \text{0,5}$ svo við höfum sannað ójöfnuna.

Dæmi 16 Efra stig 1997-1998

Gutti og Jörmunrekur eru í leik, fyrir framan sig hafa þeir jöfnu $$ \Box\,x+\Box=\Box $$ sem í vantar stuðlana. Leikurinn felst í því að Gutti byrjar að velja tölu í einhvern reitanna, svo setur Jörmunrekur tölu í annan reitanna tveggja sem þá eru eftir, og loks setur Gutti tölu í síðasta reitinn. Gutti hefur það markmið að jafnan sem kemur út hafi enga lausn.

Útskýrið hvernig Gutti getur alltaf náð þessu markmiði, óháð því hvað Jörmunrekur gerir þegar hann á að velja tölu.
Útskýrið að Gutti getur líka leikið þannig að jafnan hafi nákvæmlega eina lausn, óháð því hvað Jörmunrekur gerir.
Útskýrið að Gutti getur einnig leikið þannig að jafnan hafi óendanlega margar lausnir, óháð því hvað Jörmunrekur gerir.

Lausn

Lausn:

Gutti byrjar á að setja 0 í reitinn fyrir framan $x$-ið. Jörmunrekur setur þá tölu í annan hinna reitanna, og Gutti setur svo tölu í hinn reitinn, en passar bara að velja ekki sömu tölu og Jörmunrekur. Þá er komin jafna $0\cdot x+a=b$, þar sem $a\neq b$. Það er sama hvaða tölu við setjum í staðinn fyrir $x$-ið, aldrei fæst að vinstri hliðin verði jöfn þeirri hægri. Því hefur þessi jafna enga lausn.
Nú byrjar Gutti á að setja tölu í reitinn fyrir framan $x$-ið, það eina sem hann má ekki gera er að setja $0$. Segjum að Gutti byrji á að setja 1 í reitinn fyrir framan $x$-ið. Jörmunrekur setur svo einhverja tölu í annan hinna reitanna, og að endingu setur Gutti aftur bara einhverja tölu í reitinn sem er eftir, segjum bara að hann velji sömu tölu og Jörmunrekur notaði. Þá höfum við fengið jöfnu $1\cdot x+a=a$. Þessi jafna hefur lausnina $x=0$, og það er engin önnur lausn til. Reyndar sjáum við að Gutti getur valið sína tölu þannig að jafnan hafi bara eina lausn og það sé einhver fyrirfram ákveðin tala.
Nú verður Gutti að byrja á því að setja $0$ í reitinn fyrir framan $x$-ið. Jörmunrekur setur svo einhverja tölu í annan hinna reitanna, og Gutti lýkur leiknum með að setja sömu tölu í síðasta reitinn. Útkoman er þá jafna á forminu $0\cdot x+a=a$. Nú er sama hvaða tala er sett í staðinn fyrir $x$, jafnan verður alltaf sönn. Því hefur þessi jafna óendanlega margar lausnir.

Dæmi 15 Efra stig 1997-1998

Punktur $P$ er valinn innan í þríhyrningnum $A B C$. Í gegnum $P$ eru dregnar línur samsíða hliðum þríhyrningsins. Þá myndast þrír minni þríhyrningar, sem hafa flatarmál $4$, $9$ og $49$. Hvert er flatarmál stóra þríhyrningsins $ABC$?

Lausn

Lausn: Látum $D$ og $E$ vera skurðpunkta línanna gegnum $P$ við $AB$ og $F$ og $G$ vera skurðpunkta hliðanna $A C$ og $BC$ við línuna gegnum $P$ sem er samsíða $A B$. Á myndinni eru þrjú pör af samsíða línum. Af því má álykta að litlu þríhyrningarnir þrír og sá stóri eru allir einslaga. Einnig má álykta að strikin $FP$ og $AD$ séu jafn löng, og sömu leiðis $P G$ og $E B$ (því mótlægar hliðar í samsíðungi eru jafn langar). Látum $x$ tákna lengd $F P$ og $A D$, og $y$ tákna lengd $P G$ og $E B$, og $z$ tákna lengd $DE$. Athugum nú, að ef hlutfall samsvarandi hliða tveggja einslaga þríhyrninga er $k$, þá er hlutfall flatarmála þeirra $k^2$ (sbr. dæmi 10). Því fæst $\left(\frac{y}{x} \right)^2=\frac{9}{4}$ svo að $\frac{y}{x}=\frac{3}{2}$ og $\left(\frac{z}{x} \right)^2=\frac{49}{4}$ svo að $\frac{z}{x}=\frac{7}{2}$. Lengd $A B$ er $x+y+z$ og $$\frac{x+y+z}{x}=1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}=1+\frac{3}{2}+\frac{7}{2}=6.$$ Því eru hliðar þríhyrningsins $A B C$ sexfalt lengri en samsvarandi hliðar þess minnsta, og flatarmál $A B C$ því 36 sinnum stærra, eða $36\cdot 4=144$.

Dæmi 14 Efra stig 1997-1998

Teningur sem er $11$ cm á hvern kant er búinn til með því að líma saman $11^3$ teninga sem hver er $1$ cm á kant. Hver er mesti fjöldi einingarteninga sem hægt er að sjá í einu?

Lausn

Svar: $331$

Lausn: Með hliðsjón af myndinni getum við sagt að á framhliðinni sjáist í $11^2 = 121$ teninga. Á þeirri hlið sem veit til hliðar sést líka í $11^2 = 121$ teninga, en þeir teningar sem eru á brúninni við framhliðina sjást líka á framhliðinni. Þegar við teljum þessa hlið með bætast því við $11^2 - 11 = 110$ teningar. Á hliðinni sem veit upp sést líka í $11^2 = 121$ teninga, en þeir sem eru á brúnunum við framhliðina og hliðina sem veit til hliðar hafa þegar verið taldir með. Á hvorri brún eru $11$ teningar, en sá sem er á horninu tilheyrir báðum brúnunum, svo það eru samtals $21$ teningur á þessum brúnum. Þegar hliðinni sem snýr upp er bætt við þá fáum við $11^2 - 21 = 100$ teninga til viðbótar. Samtals sjáum við því $121 + 110 + 100 = 331$ tening.

Dæmi 13 Efra stig 1997-1998

Talan $G$ er margfeldi allra heilla talna frá $100$ til $200$ (báðar tölurnar taldar með). Hver er hæsta tala $n$ þannig að $5^n$ gengur upp í $G$?

Lausn

Svar: 27

Lausn: Talan $G$ er skilgreind sem $100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot … \cdot 199 \cdot 200$. Veldið $n$ finnst með því að fara í gegnum tölurnar $100, 101, 102, … , 199, 200$, og telja hvað $5$ gengur upp í mörgum þeirra, og þá hversu oft. Útkoman úr þessari talningu er $n$-ið okkar. Á bilinu frá $100$ til $200$ er $21$ tala sem $5$ gengur upp í $(100, 105, … , 200)$, $5^2$ gengur upp í fimm þeirra $(100, 125, 150, 175, 200)$ og $5^3$ gengur upp í eina $(125)$. Því eru það $16$ tölur sem $5$ gengur einu sinni upp í, $4$ tölur sem $5$ gengur tvisvar upp í, og ein sem $5$ gengur þrisvar upp í. Þá er $n=21+5+1=27$.

Dæmi 12 Efra stig 1997-1998

Flytja þarf $150$ þvottavélar á milli staða. Til flutninganna er hægt að fá tvennskonar bíla: Stóra bíla sem geta flutt $18$ þvottavélar í einu og hver ferð kostar $3.500$ kr. og litla bíla sem geta flutt $13$ þvottavélar og hver ferð kostar $2.500$ kr. Hvað á að panta marga bíla af hvorri gerð til að flutningarnir kosti sem minnst?

Lausn

Svar: $4$ stóra bíla og $6$ litla. Kostnaður samtals $29.000$ kr..

Lausn: Það er lítið annað að gera en að setja upp töflu. Svona verkefni geta komið upp í daglegu lífi, stór verkefni af þessu tagi er einfalt að leysa með aðstoð töflureiknis. Taflan hér á eftir er gerð í töflureikni.

Litlir bílar	Stórir bílar	Þvottavélar	Kostnaður
$0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$ $12$	$9$ $8$ $7$ $7$ $6$ $5$ $4$ $4$ $3$ $2$ $2$ $1$ $0$	$162$ $157$ $152$ $165$ $160$ $155$ $150$ $163$ $158$ $153$ $166$ $161$ $156$	$31.500$ $30.500$ $29.500$ $32.000$ $31.000$ $30.000$ $29.000$ $31.500$ $30.500$ $29.500$ $32.000$ $31.000$ $30.000$

Dæmi 11 Efra stig 1997-1998

Stúdent fékk samtímis reikning frá skósmið og skraddara, sam- tals að upphæð $110$ kr. Hann átti hinsvegar aðeins $30$ kr. og greiddi með þeim skraddaranum $\frac{1}{4}$ og skósmiðnum $\frac{1}{3}$ af upphæð reikninganna. Hve háir voru þeir?

Lausn

Svar: Reikningur skósmiðsins var $30$ kr. og reikningur skraddarans var $80$ kr.

Lausn: Táknum með $x$ upphæð reikningsins frá skósmiðnum og með $y$ upphæð reikningsins frá skraddaranum. Samtals eru reikningarnir $110$ kr., svo $x + y = 110$. Stúdentinn greiddi, með $30$ kr., fjórðung af reikningi skradd- arans og þriðjung af reikningi skósmiðsins, sem segir að $ \frac{1}{3}x + \frac{1}{4} y = 30$. Margföldum nú báðar hliðar seinni jöfnunnar með $3$ og drögum frá þeirri fyrri. Þá fæst að $\frac{1}{4}y=20$,eða y=80. Af jöfnunni $x+y=110$ sést nú að $x = 30$. (Þetta dæmi er úr Dæmasafni fyrir Alþýðu- og Gagnfræðaskóla eftir Guðmund Arnlaugsson og Þorstein Egilsson, sem gefið var út $1938$.)

Dæmi 10 Efra stig 1997-1998

Gefnar eru fjórar heiltölur. Þegar þrjár þeirra eru lagðar saman fást útkomurnar $180, 197, 208, 222$. Hvert er gildi stærstu tölunnar af upphaflegu tölunum fjórum?

Lausn

Svar: $89$

Lausn: Röðum tölunum fjórum eftir stærð og köllum þær $a, b, c$ og $d$, þannig að $d$ er stærst. Minnsta summa þriggja þeirra er $a + b + c = 180$. Ef viðleggjum saman $180 + 197 + 208 + 222 = 807$, fáum við út tölu sem er jöfn $3(a+b+c+d)$ og því er $a+b+c+d = 269$. Frá því drögum við $a + b + c = 180$ og ályktum að $d = 89$.