Gerum ráð fyrir að önnur jafnan hafi ekki rauntölulausn. Með því að skipta hugsanlega um nöfn á $p$ og $q$ getum við gert ráð fyrir því að $x^2+p x+q=0$ hafi ekki rauntölulausn. Þá er aðgreinir annars stigs margliðunnar $x^2+p x+q$ neikvæður, það er $p^2-4 q\lt 0$, svo að $p^2\lt 4 q$. Við viljum sýna að þá sé aðgreinir margliðunnar $x^2+q x+p$ ekki neikvæður, það er að $q^2\geq 4 p$, því þá hefur jafnan $x^2+q x+p=0$ rauntölulausn.

Ef $p^2\lt 4q$, þá er $p\lt 2\sqrt{q}$ svo að $4p\lt 8\sqrt{q}$. Nú er ójafnan $8\sqrt{q}\leq q^2$ jafngild ójöfnunni $64q\leq q^4$ því $q$ er jákvæð tala. En $64=4^3$ svo þessi síðasta ójafna er jafngild ójöfnunni $4\leq q$. Höfum því fyrir $4\leq q$ að $4p\lt 8\sqrt{q}\leq q^2$. Tilfellin þegar $q$ er ein af tölunum $1$, $2$ eða $3$ verðum við að afgreiða sérstaklega.

• (a) Ef $q=3$, þá er $p^2\lt4q=12$ svo að $p$ er önnur talnanna 1 eða 2 því $p=3$ kemur ekki til greina því gefið er að $p$ og $q$ eru ólíkar. En $q^2=9$ er stærri en bæði $4\cdot 1=4$ og $4\cdot 2=8$ svo $q^2\geq 4p$ gildir í þessu tilfelli.
• (b) Ef $q=2$, þá er $p^2\lt4q=8$ svo að $p=1$. Þá er $q^2=4\geq 4=4p$.
• (c) Ef $q=1$, þá er $p^2\lt4$ sem getur ekki gerst því tölurnar $p$ og $q$
eru ólíkar.

Svæðið er spegilsamhverft um núllpunktinn því ef $(x,y)$ er í svæðinu, þá er $(-x,-y)$ það einnig. Flatarmál svæðisins sem liggur í efra hálfplaninu er þá helmingur flatarmáls alls svæðisins. Í fyrsta fjórðungi plansins höfum við $x\geq 0$ og $y\geq 0$ og þar er því ójafnan jafngild $x+y+(x+y)\leq 2$ og þar með $x+y\leq 1$. Þessi ójafna afmarkar þríhyrningslaga svæði með hornpunkta $(0,0)$, $(1,0)$ og $(0,1)$. Flatarmál þess er $\frac{1}{2}$.

Næst skoðum við punktana sem liggja í öðrum fjórðungi. Þar er $x\leq 0$ og $y\geq 0$ og því ójafnan jafngild $-x+y+|x+y|\leq 2$ þar. Til þess að átta okkur á algildinu sem eftir er, þurfum við að skipta fjórðungnum í tvennt með línunni $x+y=0$. Fyrir ofan línuna höfum við að $y\geq -x$ og þar er ójafnan jafngild $-x+y+(x+y)\leq 2$ sem aftur er jafngild $y\leq 1$. Þessar ójöfnur afmarka þríhyrninginn með hornpunktana $(0,0)$, $(0,1)$ og $(-1,1)$. Flatarmál hans er $\frac{1}{2}$. Fyrir neðan línuna sem gefin er með jöfnunni $x+y=0$ höfum við $y\leq -x$ og þar er ójafnan jafngild $-x+y-(x+y)\leq 2$ sem aftur jafngildir $x\geq -1$. Þessi hluti svæðisins er þríhyrningur með hornpunktana $(0,0)$, $(-1,1)$ og $(-1,0)$. Hann hefur einnig flatarmálið $\frac{1}{2}$.

Við höfum þá séð að sá hluti svæðisins sem liggur í tveimur fyrstu fjórðungum plansins samanstendur af þremur þríhyrningum sem hver um sig hefur flatarmálið $\frac{1}{2}$. Flatarmál svæðisins alls er því $6\cdot \frac{1}{2}=3$.

Skrifum tölurnar $x_1,x_2,\ldots, x_{52}$ á 52 miða og stillum 51 skúffu upp fyrir framan okkur sem við númerum frá 0 og upp í 50. Látum $r_j$ vera afganginn þegar við deilum 100 í $x_j$. Þá er $0\leq r_j \leq 99$. Við setjum nú miðann með $x_j$ í skúffu $r_j$ ef $r_j\leq 50$ en í skúffu $100-r_j$ ef $r_j\gt 50$. Þá fer til dæmis $x_j$ í skúffu $50$ ef $r_j=50$ og í skúffu $49$ ef $r_j=49$ eða $r_j=51$.

Nú eru miðarnir $52$ talsins en skúffurnar aðeins $51$. Því hljóta tveir miðar að lenda í sömu skúffunni. Segjum að það séu miðarnir með tölunum $x_j$ og $x_k$. Ef $r_j=r_k$, þá gengur 100 upp í $x_j-x_k$ en ef $r_j\neq r_k$, þá er $r_j+r_k=100$ og því gengur 100 upp í $x_j+x_k$.

Það nægir að sanna lið (b) því liður (a) er sértilvik af honum. Við veljum $m$ þannig að $1\leq m\leq 10^n$ og setjum $m-1$ fram í tugakerfi sem $$ m-1=\sum_{k=0}^{n-1}x_k 10^k.$$ Þá er $$ \begin{aligned} m(10^n-1)&=10^n(m-1)+10^n-1-(m-1)\\ &=10^n\sum_{k=0}^{n-1}x_k 10_k+\sum_{k=0}^{n-1}9\cdot 10^k-\sum_{k=0}^{n-1}x_k 10^k\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}x_k 10^{n+k}+\sum_{k=0}^{n-1}(9-x_k)10^k. \end{aligned} $$ Þversumman er því $$ \sum_{k=0}^{n-1}x_k+\sum_{k=0}^{n-1}(9-x_k)=9n.$$