Fjölval | stæ.is

Dæmi 11. Efra stig 1991-92

Á hversu marga vegu er unnt að skrifa töluna $875$ sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð?

Lausn

Táknum talnaröðina með $n+(n+1)+\cdots+(n+k)$. Þá er summan $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)$ svo að $(k+1)(2n+k)=2\cdot 875=1750$. Nú er $2^2\cdot 5^2\cdot 17$ frumþáttun $1750$ og $2n+k\geq k+1\geq 1$ sem við notfærum okkur til að gera eftirfarandi töflu yfir möguleg gildi á $k+1$ og $2n+k$.

$k+1$	2	5	7	10	14	25	35
$2 n + k$	875	350	250	175	125	70	50
$k$	$1$	$4$	$6$	$9$	$13$	$24$	$34$
$n$	$437$	$173$	$122$	$83$	$56$	$23$	$8$

Sjáum að það má á alls 7 vegu skrifa 875 sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð.

Dæmi 9. Neðra stig 1991-92

Algebrulegu stærðunum $2x+1$, $2x-3$, $x+2$, $x+5$ og $x-3$ má raða upp þannig að summa þriggja fyrstu er $4x+3$ og summa þriggju síðustu er $4x+4$. Stærðin í miðjunni er þá

Lausn

Látum $y_1,\, y_2,\, y_3,\, y_4,\, y_5$ vera slíka röðun. Þá er summa þeirra $$y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=7x+2$$ og summa þriggju fyrstu og þriggja seinustu er $$(y_1+y_2+y_3)+(y_3+y_4+y_5)=(4x+3)+(4x+4)=8x+7.$$ En þá er miðstærðin $y_3=(8x+7) - (7x+2)=x+5$.

Dæmi 12. Efra stig 1991-92

Ellefu jafnmunarunur eru myndaðar með mun 13 og byrjunartölu 1991, 1992, 1993, $\dots$, 2001. Runurnar eru endalausar. Fjöldi runanna sem innihalda ferningstölu er

Lausn

Látum $x$ vera eina af tölunum $1991, 1992, \ldots, 2001$. Þá má skrifa $x$ sem $13\cdot 153+\alpha$ þar sem $\alpha$ er ein af tölunum $2,\ldots, 12$. Við þurfum að ákvarða fyrir hvaða $x$ sé til náttúrleg tala $k$ þannig að $x+13k=y^2$ þar sem $y$ er náttúrleg tala. Skrifum $y=13\cdot a+b$ þar sem $b$ er ein af tölunum $0,1,\ldots,12$. Ef við reiknum samleifa 13 fáum við að $b^2\equiv y^2 \equiv x+13k\equiv \alpha$. En $b^2$ er einungis samleifa einhverri af tölunum 0, 1, 3, 4, 9, 10 eða 12 eins og fæst með því að prófa allar tölurnar frá 0 upp í 12 svo að $\alpha$ er þá ein af tölunum 3, 4, 9, 10 eða 12.

Dæmi 10. Neðra stig 1991-92

Ef myndin hér til hliðar er klippt út og brotin saman þannig að út fæst teningur, þá er hliðin á móti hliðinni sem merkt er með $D$ merkt með

Lausn

Ef $A$ er framhlið teningsins, þá er $L$ á hliðinni sem snýr upp og $D$ á hliðinni sem snýr niður.

Dæmi 11. Neðra stig 1991-92

Hornpunktar samsíðungs $P Q R S$ í hnitasléttu hafa hnit $P=(-3,-1)$, $Q=(0,a)$, $R=(7,11)$ og $S=(b,c)$. Talan $ a + b + c $ er jöfn

Lausn

Þar sem hliðarnar $PQ$ og $SR$ eru jafn langar og samsíða, þá er mismunurinn á $x$—hnitum $Q$ og $P$ sá sami og mismunurinn á $x$—hnitum $R$ og $S$ eða $3=7-b$. Eins fæst $a+1=11-c$ þegar við athugum $y$—hnitin. En þá er $b=4$ og $a+c=10$ svo $a+b+c=14$.

Dæmi 12. Neðra stig 1991-92

Myndin sýnir tvo ferninga, annan með hring innritaðan og hinn innritaðan í sama hring. Ef mismunurinn á flatarmálum ferninganna er $32$, þá er geisli hringsins

Lausn

Með því að snúa minni ferningnum, þá getum við gert ráð fyrir að hornpunktar hans falli saman við snertipunkta hringsins við stærri ferninginn, eins og sýnt er á myndinni. Við tökum þá eftir að flatarmál stærri ferningsins er tvöfalt flatarmál þess minni. Til að sjá það drögum við einfaldlega hornalínur minni ferningsins. Ef við táknum flatarmál þess stærri með $F$ og þess minni með $f$, þá höfum við jöfnurnar $F-f=32$ og $F=2f$ sem saman gefa $f=32$ og $F=64$. Hliðarlengd stærri ferningsins er þá 8 og geisli hringsins 4.

Dæmi 13. Neðra stig 1991-92

Skál er fyllt með blöndu vatns og ediks í hlutföllum $2:1$. Önnur skál, sem tekur tvöfalt meira en sú fyrsta, er fyllt með blöndu vatns og ediks í hlutföllum $3:1$. Ef innihaldi skálanna tveggja er nú hellt í þriðja ílátið, þá er hlutfallið á milli vatns og ediks

Lausn

Látum $x$ tákna stærð minni skálarinnar í lítrum. Þá eru $\frac{1}{3}x$ lítrar ediks í fyrstu skálinni og $\frac{1}{4}\cdot 2x$ lítrar ediks í annarri skálinni. Því eru samanlagt $\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x=\frac{5}{6}x$ lítrar ediks í fyrstu skálunum tveimur. Þegar búið er að hella yfir í þriðju skálina, þá eru þar samtals $3x$ lítrar og þar af eru $(\frac{5}{6}x)/(3x)=\frac{5}{18}$ hlutar edik. Þá eru $1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}$ hlutar vatn, svo hlutfall vatns og ediks er $13:5$.

Dæmi 14. Neðra stig 1991-92

Maja sló grasflöt sem var rétthyrningur $20$ m sinn um $12$ m að stærð. Hún byrjaði á því að slá ræmu umhverfis flötinn og hélt svo áfram eins og sýnt er á myndinni. Ef sláttuvélin sló braut sem var $1$ m á breidd, hversu oft þurfti Maja að beygja um $90^\circ$ til vinstri?

Lausn

Hugsum okkur að upp á blaðinu sé norður. Maja byrjar því í norðvestur horni blettsins og gengur í suður. Þar sem bletturinn er stærri á austur—vestur hliðina heldur en á norður—suður hliðina, þá endar Maja á því að ganga í austur eða vestur. Hún labbar $12$ sinnum í austur eða vestur og þar sem hún labbar í austur áður en hún labbar í vestur í fyrsta skipti, þá endar hún á því að labba í vestur. Í hvert skipti sem Maja byrjar að slá í suður verður hún að taka fjórar vinstribeygjur áður en hún byrjar næst að slá í suður. Hinsvegar þarf hún ekki að snúa sér í suður í síðasta skiptið sem hún labbar í vestur, svo í síðasta hringnum tekur hún aðeins þrjár vinstribeygjur. Alls eru vinstri beygjurnar þá $5\cdot 4 + 3=23$.

Dæmi 15. Neðra stig 1991-92

Ísmolabakki hefur tvö hólf P og Q. Hvort hólf hefur málin $4$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $3$ cm, eins og sýnt er á myndinni. Hólf P er fullt af vatni og hólf Q er hálffullt. Bakkanum er síðan hallað um kantinn sem bent er á á myndinni þannig að botninn myndi $45$ gráðu horn við grunnflötinn. Hvað flæða margir rúmsentímetrar úr bakkanum?

Lausn

Við gerum ráð fyrir að allt vatn sem rennur úr hólfi $P$ fari yfir í hólf $Q$. Ef við lítum á þverskurð af bakkanum, þá sjáum við að úr hólfi $P$ renna $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot 4=18$ cm$^3$. Hólf $Q$ getur haft alls $3\cdot 4\cdot 4 - 18 = 30$ cm$^3$, en fyrir eru $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot 4=24$ cm$^3$, svo það getur aðeins tekið við 6 cm$^3$. Afgangurinn, eða $18-6=12$ cm$^3$, renna því úr bakkanum.

Dæmi 16. Neðra stig 1991-92

Stærst af tölunum $3^{666}$, $4^{555}$, $5^{444}$, $6^{333}$ og $7^{222}$ er

Lausn

Tökum eftir að veldisvísarnir eru allir margfeldi af 111, svo það nægir að bera saman tölurnar $3^6,\, 4^5,\, 5^4,\, 6^3$ og $7^2$. Auðvelt er að ganga úr skugga um að $4^5$ er stærst þeirra: $7^2=49$, $6^3=3^3\cdot 2^3 \lt3^3\cdot 3^3 = 3^6$, $5^4=25^2\lt 27^2=3^6$ og $3^6 = 9\cdot 81=729$ sem er hinsvegar minni en $4^5=2^{10}=1024$.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 11. Efra stig 1991-92

Dæmi 9. Neðra stig 1991-92

Dæmi 12. Efra stig 1991-92

Dæmi 10. Neðra stig 1991-92

Dæmi 11. Neðra stig 1991-92

Dæmi 12. Neðra stig 1991-92

Dæmi 13. Neðra stig 1991-92

Dæmi 14. Neðra stig 1991-92

Dæmi 15. Neðra stig 1991-92

Dæmi 16. Neðra stig 1991-92

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK