Fjölval | stæ.is

Dæmi 5. Neðra stig 1992-93

Þríhyrnt tún með hliðarlengdir $200$ m, $200$ m og $300$ m er girt. Á milli girðingarstaura eru $5$ m. Hversu marga staura þarf?

Lausn

Á 200 m hliðarnar þarf 41 staur en á 300 m hliðina þarf 61 staur. Hver hornstauranna þriggja er sameiginlegur tveimur hliðum svo heildar fjöldi staura er $41+41+61-3=140$. Getum einnig hugsað okkur að við séum að girða svæði með ummál 700 m. Þá þarf augljóslega 140 staura.

Dæmi 6. Neðra stig 1992-93

Þegar $(x^{-1}+y^{-1})^{-1}$ er einfaldað sést að þessi stærð er jöfn

Lausn

Höfum að $$(x^{-1}+y^{-1})^{-1}= \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^{-1}= \left(\frac{y+x}{xy}\right)^{-1}=\frac{xy}{x+y}.$$

Dæmi 3. Neðra stig 1992-93

Þegar grunnlína þríhyrnings er lengd um $10\%$ og hæð hans á grunnlínu er minnkuð um $10\%$, þá verður flatarmálið

Lausn

Táknum lengd grunnlínu í upphaflega þríhyrningnum með $g$ og hæðina á hana með $h$. Flatmál upphaflega þríhyrningsins er $F_0=\frac{1}{2}gh$. Grunnlína nýja þríhyrningsins er $1,1\cdot g$ og hæðin á hana er $0,9\cdot h$. Flatarmál nýja þríhyrningsins er þá $\frac{1}{2}(1,1\cdot g)(0,9\cdot h)=\text{0,99}\cdot\frac{1}{2}gh = \text{0,99}\cdot F_0$ eða $1\%$ minna en flatarmál þess upphaflega.

Dæmi 4. Neðra stig 1992-93

Talan $\left(0,1 + \frac{1}{0,1}\right)^2$ er jöfn

Lausn

Höfum að $$\left(0,1+\frac{1}{0,1}\right)^2=(0,1+10)^2 =0,01+2+100=102,01.$$

Dæmi 1. Neðra stig 1992-93

Gildið á $6(12-3^2)-14$ er

Lausn

Höfum að $$6(12-3^2)-14=6(12-9)-14=6\cdot 3-14=18-14=4.$$

Dæmi 15. Neðra stig 1991-92

Ísmolabakki hefur tvö hólf P og Q. Hvort hólf hefur málin $4$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $3$ cm, eins og sýnt er á myndinni. Hólf P er fullt af vatni og hólf Q er hálffullt. Bakkanum er síðan hallað um kantinn sem bent er á á myndinni þannig að botninn myndi $45$ gráðu horn við grunnflötinn. Hvað flæða margir rúmsentímetrar úr bakkanum?

Lausn

Við gerum ráð fyrir að allt vatn sem rennur úr hólfi $P$ fari yfir í hólf $Q$. Ef við lítum á þverskurð af bakkanum, þá sjáum við að úr hólfi $P$ renna $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot 4=18$ cm$^3$. Hólf $Q$ getur haft alls $3\cdot 4\cdot 4 - 18 = 30$ cm$^3$, en fyrir eru $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot 4=24$ cm$^3$, svo það getur aðeins tekið við 6 cm$^3$. Afgangurinn, eða $18-6=12$ cm$^3$, renna því úr bakkanum.

Dæmi 16. Neðra stig 1991-92

Stærst af tölunum $3^{666}$, $4^{555}$, $5^{444}$, $6^{333}$ og $7^{222}$ er

Lausn

Tökum eftir að veldisvísarnir eru allir margfeldi af 111, svo það nægir að bera saman tölurnar $3^6,\, 4^5,\, 5^4,\, 6^3$ og $7^2$. Auðvelt er að ganga úr skugga um að $4^5$ er stærst þeirra: $7^2=49$, $6^3=3^3\cdot 2^3 \lt3^3\cdot 3^3 = 3^6$, $5^4=25^2\lt 27^2=3^6$ og $3^6 = 9\cdot 81=729$ sem er hinsvegar minni en $4^5=2^{10}=1024$.

Dæmi 17. Neðra stig 1991-92

Látum $p$ vera frumtölu stærri en 11. Summa allra jákvæðra þátta tölunnar $11p$ er

Lausn

Þar sem 11 er frumtala, þá eru þær tölur sem ganga upp í $11p$ tölurnar 1, 11, $p$ og $11p$. Summa þeirra er $1+11+p+11p=12+12p$.

Dæmi 1. Neðra stig 1991-92

Talan $\displaystyle\frac{5^8+5^9}{5^8}$ er jöfn

Lausn

Höfum að $$\frac{5^8+5^9}{5^8}=\frac{5^8(1+5)}{5^8}=6.$$

Dæmi 18. Neðra stig 1991-92

$ABCD$ er tígull. Látum $K$ vera miðpunkt striksi ns $DC$ og $L$ miðpunkt striksins $BC$. Látum $M$ vera skurðpunkt strikanna $DL$ og $BK$. Ef flatarmál tígulsins $ABCD$ er 1, þá er flatarmál ferhyrningsins $KMLC$ jafnt

Lausn

Athugum að punkturinn $M$ skiptir strikunum $DL$ og $BK$ í hlutföllunum $1:2$ þar sem $M$ er skurðpunktur miðlínanna í þríhyrningnum $BCD$. Látum $P$ og $Q$ vera skurðpunkta línunnar gegnum $M$ samsíða $AB$ við strikin $AD$ og $BC$. Látum $R$ og $S$ vera skurðpunkta línunnar gegnum $M$ samsíða $BC$ við strikin $AB$ og $DC$. Þá skiptir $M$ strikunum $PQ$ og $RS$ einnig í hlutföllunum $1:2$ því þríhyrningarnir $PMD$ og $QML$ annarsvegar og $RMB$ og $SMK$ hinsvegar eru einslaga. Flatarmál tígulsins $SMQC$ er þá $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$ af flatarmáli $ABCD$ og flatarmál hvors þríhyrninganna $KMS$ og $LMQ$ er $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}$ af flatarmáli $ABCD$ því $|KS|=|KC|-|SC|$ er $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ hluti lengdar $DC$. Samtals er flatarmál $KMLC$ þá $\frac{1}{9}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$ af flatarmáli $ABCD$.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 5. Neðra stig 1992-93

Dæmi 6. Neðra stig 1992-93

Dæmi 3. Neðra stig 1992-93

Dæmi 4. Neðra stig 1992-93

Dæmi 1. Neðra stig 1992-93

Dæmi 15. Neðra stig 1991-92

Dæmi 16. Neðra stig 1991-92

Dæmi 17. Neðra stig 1991-92

Dæmi 1. Neðra stig 1991-92

Dæmi 18. Neðra stig 1991-92

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK