Ef seinni jafnan er uppfyllt, þá er $x=a+\sqrt x$ og af því leiðir að $a+\sqrt{a+\sqrt x}=a+\sqrt x=x$ og fyrri jafnan er uppfyllt. Öfugt, ef fyrri jafnan er uppfyllt og við setjum $y=x-a$, þá er $y=\sqrt{x-y+\sqrt x}$ og þar með $y^2+y=x+\sqrt x$. Ef við leggjum $\frac{1}{4}$ við beggja vegna jafnaðarmerkisins í þessari jöfnu, þá fáum við jafngildu jöfnuna $$ \left(y+\tfrac{1}{2}\right)^2=\left(\sqrt x+\tfrac{1}{2}\right)^2. $$ Báðar tölurnar $y$ og $\sqrt x$ eru jákvæðar og því fáum við að $y=\sqrt x$, en það jafngildir seinni jöfnunni.

Til að finna allar lausnir jafnanna, þá setjum við $y=\sqrt{x}$ og getum þá ritað $x=a+\sqrt{x}$ sem $y^2-y-a=0$. Þessi jafna hefur aðeins rauntölulausnir þegar $1+4 a\geq 0$, það er $a\geq -\frac{1}{4}$, og þær eru $$y_{\pm}=\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2}=\frac12\pm\sqrt{a+\frac{1}{4}}.$$ En nú er $y=\sqrt{x}\geq 0$ svo $y_-$ er aðeins lausn þegar $a\leq 0$. Höfum því að $y_\pm^2$ eru allar lausnir $x=a+\sqrt{x}$ ef $-\frac{1}{4}\leq a\leq 0$, að $y_+^2$ er eina lausn $x=a+\sqrt{x}$ ef $a\geq 0$ og að $x=a+\sqrt{x}$ hefur enga lausn ef $a\lt -\frac{1}{4}$.