Látum $ABC$ vera þríhyrning. Punkturinn $P$ liggur innan í $AB
C$ þannig
að $|PA|=4$, $|PB|=2$ og $|PC|=1$.
(a) Ef $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA$, sannið að $\angle ACB=90^\circ$.
(b) Ef $\angle ACB=90^\circ$ og $\angle APB=\angle BPC$, sannið að $\angle CPA=120^\circ$.
Lausn
(a) Við byrjum á að athuga að
$\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^\circ$ og einnig að
$\cos(120^\circ)=-\frac{1}{2}$.
Við beitum kósinusreglunni á þríhyrningana $A B P$, $B C P$ og $C A P$ og fáum
$$
\begin{aligned}
|AB|^2&=|PA|^2+|PB|^2-2\cdot|PA|\cdot|PB|\cdot\cos(120^\circ)\\
&=4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\cdot(\textstyle-\frac{1}{2})=28,\\
|BC|^2&=|PB|^2+|PC|^2-2\cdot|PB|\cdot|PC|\cdot\cos(120^\circ)\\
&=2^2+1^2-2\cdot2\cdot1\cdot(\textstyle-\frac{1}{2})=7,\\
|CA|^2&=|PC|^2+|PA|^2-2\cdot|PC|\cdot|PA|\cdot\cos(120^\circ)\\
&=1^2+4^2-2\cdot1\cdot4\cdot(\textstyle-\frac{1}{2})=21.
\end{aligned}
$$
Þá er $|BC|^2+|CA|^2=7+21=28=|AB|^2$, sem sýnir að $\angle ACB=90^\circ$.
(Minnumst þess að regla Pýþagorasar segir ekki aðeins að summa ferninga
skammhliðanna í rétthyrndum þríhyrningi sé jöfn ferningi
langhliðarinnar, heldur einnig að ef svo er, þá sé þríhyrningurinn rétthyrndur.)
(b) Látum $\alpha=\angle APB=\angle BPC$ og $x=\cos\alpha$. Þá er
$\angle CPA=360^\circ-2\alpha$ og því $$\cos(\angle
CPA)=\cos(360^\circ-2\alpha)=\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1=2x^2-1.$$
Samkvæmt kósínusreglu er
$$
\begin{aligned}
|AB|^2&=|PA|^2+|PB|^2-2\cdot|PA|\cdot|PB|\cdot\cos(\alpha)=20-16x,\\
|BC|^2&=|PB|^2+|PC|^2-2\cdot|PB|\cdot|PC|\cdot\cos(\alpha)=5-4x,\\
|CA|^2&=|PC|^2+|PA|^2-2\cdot|PC|\cdot|PA|\cdot\cos(2\alpha)
=17-8\cdot(2x^2-1)\\&=25-16x^2.
\end{aligned}
$$
Þar sem $\angle ACB=90^\circ$, þá er $|AB|^2=|BC|^2+|CA|^2$ og því
$$
(5-4x)+(25-16x^2)=20-16x
$$
það er $8x^2-6x-5=0$.
Þessi jafna hefur ræturnar $x=-\frac{1}{2}$ og $x=\frac{5}{4}$. Einungis
hin fyrri kemur til greina því $x=\cos\alpha \leq 1$, svo að
$\cos\alpha=-\frac{1}{2}$ og því $\alpha=120^\circ$.
Þar með er $\angle CPA=360^\circ-2\cdot120^\circ=120^\circ$.
Önnur lausn
Við tökum eftir að þríhyrningarnir $APB$ og $BPC$ eru
einslaga því $|AP|=2|BP|$, $|BP|=2|PC|$ og $\angle APB=\angle BPC$.
Því er $|AB|=2|BC|$.
(a) Nú er
$$
\begin{aligned}
\angle ABC&=\angle ABP+\angle PBC=\angle ABP+\angle PAB\\&=180^\circ-\angle
APB=180^\circ-120\deg=60^\circ.\end{aligned}
$$
Við sjáum því að ef $M$ er miðpunktur $AB$, þá er $MBC$ jafnhliða
þríhyrningur og því $|MC|=|MB|$. Þá liggur $C$ á hringnum með miðstreng
$AB$ og því er $\angle ACB=90^\circ$ því hornið $\angle ACB$ spannar
miðstreng í hringnum.
(b) Þar sem $\angle ACB=90\deg$, þá er $|BC|=|AB|\cos\angle ABC$. En við
höfum þegar tekið eftir að $|AB|=2|BC|$ svo $\cos\angle ABC=\frac{1}{2}$
og því $\angle ABC=60^\circ$. Þá er
$$ 60^\circ=\angle ABC=\angle ABP+\angle PBC=\angle ABP+\angle
PAB=180^\circ-\angle APB$$ svo að $\angle BPC=\angle APB=120^\circ$ og því
$\angle CPA=360^\circ-2\cdot 120^\circ=120^\circ$.
