Látum $A$ og $B$ tákna miðpunkta hringanna og $C$ vera annan skurðpunkta þeirra. Þá er þríhyrningurinn $ABC$ jafnhliða því allar hliðar hans eru geislar hringanna. Táknum flatarmál hringgeirans sem hornið $\angle ABC$ spannar með $F_{AC}$ og flatarmál hringgeirans sem hornið $\angle BAC$ spannar með $F_{BC}$. Þar sem þríhyrningurinn $ABC$ er jafnarma er $F_{AC}=F_{BC}$ sjöttihluti flatarmáls hvors hrings eða $\frac{\pi}{6}$. Flatarmál þríhyrningsins $ABC$ er $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Þá er flatarmálið sem er innaní báðum hringunum $4\cdot \frac{\pi}{6}-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Táknum talnaröðina með $n+(n+1)+\cdots+(n+k)$. Þá er summan $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)$ svo að $(k+1)(2n+k)=2\cdot 875=1750$. Nú er $2^2\cdot 5^2\cdot 17$ frumþáttun $1750$ og $2n+k\geq k+1\geq 1$ sem við notfærum okkur til að gera eftirfarandi töflu yfir möguleg gildi á $k+1$ og $2n+k$.

Sjáum að það má á alls 7 vegu skrifa 875 sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð.

Látum $x$ vera eina af tölunum $1991, 1992, \ldots, 2001$. Þá má skrifa $x$ sem $13\cdot 153+\alpha$ þar sem $\alpha$ er ein af tölunum $2,\ldots, 12$. Við þurfum að ákvarða fyrir hvaða $x$ sé til náttúrleg tala $k$ þannig að $x+13k=y^2$ þar sem $y$ er náttúrleg tala. Skrifum $y=13\cdot a+b$ þar sem $b$ er ein af tölunum $0,1,\ldots,12$. Ef við reiknum samleifa 13 fáum við að $b^2\equiv y^2 \equiv x+13k\equiv \alpha$. En $b^2$ er einungis samleifa einhverri af tölunum 0, 1, 3, 4, 9, 10 eða 12 eins og fæst með því að prófa allar tölurnar frá 0 upp í 12 svo að $\alpha$ er þá ein af tölunum 3, 4, 9, 10 eða 12.

Höfum að $$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\cdot b+b^2)=(a-b)((a-b)^2+3 a b). $$ Setjum $a=\sqrt[3]{x+9}$ og $b=\sqrt[3]{x-9}$ og fáum $18 = 3\cdot(3^2+3a b)$ eða $a b=-1$. Þá er $$\sqrt[3]{x^2-81}=\sqrt[3]{x+9}\sqrt[3]{x-9}=a b=-1$$ og þar með eru tvær lausnir, $x=\sqrt{80}$ og $x=-\sqrt{80}$.