1991-92 | stæ.is

Dæmi 5. Neðra stig 1991-92

Píluskífa hefur þrjá hringi (sjá mynd). Fjöldi stiga sem fást fyrir að lenda í hverju svæðanna þriggja er eins og sýnt er á myndinni. Minnsti fjöldi pílukasta sem þarf til þess að hljóta nákvæmlega 21 stig er

Lausn

Til að ná stigatölunni 21 þarf að minnsta kosti 5 köst, því fjögur köst í það svæði sem veitir flest stig gefur aðeins 20 stig. Fljótséð er að það má ná 21 stigi í 5 köstum með því að kasta 3 pílum í svæðið sem gefur 5 stig og 2 pílum í svæðið sem gefur 3 stig.

Dæmi 7. Neðra stig 1991-92

Minnsta jákvæða náttúrlega tala sem allar náttúrlegar tölur frá $1$ upp í $10$ ganga upp í er

Lausn

Minnumst þess að frumtala er náttúrleg tala stærri en eða jöfn 2, þannig að engar aðrar tölur en 1 og hún sjálf ganga upp í hana. Fyrstu frumtölurnar eru 2, 3, 5, 7, 11, 13. Frumþættir náttúrlegrar tölu $n$ eru þær frumtölur sem ganga upp í $n$. Minnsta samfeldi gefinna náttúrlegra talna er minnsta talan sem allar gefnu tölurnar ganga upp í. Af þeirri staðreynd að sérhverja náttúrlega tölu má skrifa ótvírætt sem margfeldi frumþátta sinna leiðir, að minnsta samfeldi gefinna talna er margfeldi velda af frumþáttum þeirra, og hver frumþáttur kemur fyrir í hæsta veldi þa hæstu velda þeirra frumþátta gefnu talnanna sem ganga upp í einhverja af gefnu tölunum. Taflan hér að neðan gefur frumþáttun talnanna frá 1 upp í 10 og af henni lesum við að minnsta samfeldi þeirra er $2^3\cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7=2520$.

Dæmi 23. Neðra stig 1991-92

Látum $ABC$ vera þríhyrning. Punkturinn $P$ liggur innan í $AB C$ þannig að $|PA|=4$, $|PB|=2$ og $|PC|=1$.

(a) Ef $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA$, sannið að $\angle ACB=90^\circ$.

(b) Ef $\angle ACB=90^\circ$ og $\angle APB=\angle BPC$, sannið að $\angle CPA=120^\circ$.

Lausn

(a) Við byrjum á að athuga að $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^\circ$ og einnig að $\cos(120^\circ)=-\frac{1}{2}$. Við beitum kósinusreglunni á þríhyrningana $A B P$, $B C P$ og $C A P$ og fáum $$ \begin{aligned} |AB|^2&=|PA|^2+|PB|^2-2\cdot|PA|\cdot|PB|\cdot\cos(120^\circ)\\ &=4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\cdot(\textstyle-\frac{1}{2})=28,\\ |BC|^2&=|PB|^2+|PC|^2-2\cdot|PB|\cdot|PC|\cdot\cos(120^\circ)\\ &=2^2+1^2-2\cdot2\cdot1\cdot(\textstyle-\frac{1}{2})=7,\\ |CA|^2&=|PC|^2+|PA|^2-2\cdot|PC|\cdot|PA|\cdot\cos(120^\circ)\\ &=1^2+4^2-2\cdot1\cdot4\cdot(\textstyle-\frac{1}{2})=21. \end{aligned} $$ Þá er $|BC|^2+|CA|^2=7+21=28=|AB|^2$, sem sýnir að $\angle ACB=90^\circ$. (Minnumst þess að regla Pýþagorasar segir ekki aðeins að summa ferninga skammhliðanna í rétthyrndum þríhyrningi sé jöfn ferningi langhliðarinnar, heldur einnig að ef svo er, þá sé þríhyrningurinn rétthyrndur.)

(b) Látum $\alpha=\angle APB=\angle BPC$ og $x=\cos\alpha$. Þá er $\angle CPA=360^\circ-2\alpha$ og því $$\cos(\angle CPA)=\cos(360^\circ-2\alpha)=\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1=2x^2-1.$$ Samkvæmt kósínusreglu er $$ \begin{aligned} |AB|^2&=|PA|^2+|PB|^2-2\cdot|PA|\cdot|PB|\cdot\cos(\alpha)=20-16x,\\ |BC|^2&=|PB|^2+|PC|^2-2\cdot|PB|\cdot|PC|\cdot\cos(\alpha)=5-4x,\\ |CA|^2&=|PC|^2+|PA|^2-2\cdot|PC|\cdot|PA|\cdot\cos(2\alpha) =17-8\cdot(2x^2-1)\\&=25-16x^2. \end{aligned} $$ Þar sem $\angle ACB=90^\circ$, þá er $|AB|^2=|BC|^2+|CA|^2$ og því $$ (5-4x)+(25-16x^2)=20-16x $$ það er $8x^2-6x-5=0$. Þessi jafna hefur ræturnar $x=-\frac{1}{2}$ og $x=\frac{5}{4}$. Einungis hin fyrri kemur til greina því $x=\cos\alpha \leq 1$, svo að $\cos\alpha=-\frac{1}{2}$ og því $\alpha=120^\circ$. Þar með er $\angle CPA=360^\circ-2\cdot120^\circ=120^\circ$.

Önnur lausn

Við tökum eftir að þríhyrningarnir $APB$ og $BPC$ eru einslaga því $|AP|=2|BP|$, $|BP|=2|PC|$ og $\angle APB=\angle BPC$. Því er $|AB|=2|BC|$.

(a) Nú er $$ \begin{aligned} \angle ABC&=\angle ABP+\angle PBC=\angle ABP+\angle PAB\\&=180^\circ-\angle APB=180^\circ-120\deg=60^\circ.\end{aligned} $$ Við sjáum því að ef $M$ er miðpunktur $AB$, þá er $MBC$ jafnhliða þríhyrningur og því $|MC|=|MB|$. Þá liggur $C$ á hringnum með miðstreng $AB$ og því er $\angle ACB=90^\circ$ því hornið $\angle ACB$ spannar miðstreng í hringnum.

(b) Þar sem $\angle ACB=90\deg$, þá er $|BC|=|AB|\cos\angle ABC$. En við höfum þegar tekið eftir að $|AB|=2|BC|$ svo $\cos\angle ABC=\frac{1}{2}$ og því $\angle ABC=60^\circ$. Þá er $$ 60^\circ=\angle ABC=\angle ABP+\angle PBC=\angle ABP+\angle PAB=180^\circ-\angle APB$$ svo að $\angle BPC=\angle APB=120^\circ$ og því $\angle CPA=360^\circ-2\cdot 120^\circ=120^\circ$.

Dæmi 8. Neðra stig 1991-92

Ef talan $p$ er valin úr menginu $\{ 1 , 3 , 5 \}$ og $q$ er valin úr menginu $\{ 2 , 4 , 6 , 8 \}$, þá er fjöldi möguleika á því að velja $p$ og $q$ þannig að $p+q\lt 11$ jafn

Lausn

Ef $p=1$, þá er $p+q\lt 11$ fyrir öll $q$. Ef $p=3$ þá er $p+q\lt 11$ fyrir öll $q$ nema $q=8$ og ef $p=5$ þá er $p+q\lt 11$ fyrir öll $q$ nema $q=6$ og $q=8$. Það eru því alls $4+3+2=9$ möguleikar á að velja $p$ og $q$ þannig að $p+q\lt 11$.

Dæmi 9. Efra stig 1991-92

Fjöldi lausna á jöfnunni $3\pi(1-\cos (x))=2x$ er

Lausn

Fjöldinn er jafn fjölda skurðpunkta grafa fallanna $f(x)=\cos (x)$ og $g(x)=1-\frac{2x}{3\pi}$. Hann er 3.

Dæmi 9. Neðra stig 1991-92

Algebrulegu stærðunum $2x+1$, $2x-3$, $x+2$, $x+5$ og $x-3$ má raða upp þannig að summa þriggja fyrstu er $4x+3$ og summa þriggju síðustu er $4x+4$. Stærðin í miðjunni er þá

Lausn

Látum $y_1,\, y_2,\, y_3,\, y_4,\, y_5$ vera slíka röðun. Þá er summa þeirra $$y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=7x+2$$ og summa þriggju fyrstu og þriggja seinustu er $$(y_1+y_2+y_3)+(y_3+y_4+y_5)=(4x+3)+(4x+4)=8x+7.$$ En þá er miðstærðin $y_3=(8x+7) - (7x+2)=x+5$.

Dæmi 10. Efra stig 1991-92

Tveir hringir í sléttu hafa sama geisla og miðpunktur hvors hrings liggur á hinum hringnum. Ef geislinn er jafn 1, þá er flatarmál svæðisins sem er innan í báðum hringunum jafnt:

Lausn

Látum $A$ og $B$ tákna miðpunkta hringanna og $C$ vera annan skurðpunkta þeirra. Þá er þríhyrningurinn $ABC$ jafnhliða því allar hliðar hans eru geislar hringanna. Táknum flatarmál hringgeirans sem hornið $\angle ABC$ spannar með $F_{AC}$ og flatarmál hringgeirans sem hornið $\angle BAC$ spannar með $F_{BC}$. Þar sem þríhyrningurinn $ABC$ er jafnarma er $F_{AC}=F_{BC}$ sjöttihluti flatarmáls hvors hrings eða $\frac{\pi}{6}$. Flatarmál þríhyrningsins $ABC$ er $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Þá er flatarmálið sem er innaní báðum hringunum $4\cdot \frac{\pi}{6}-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Dæmi 10. Neðra stig 1991-92

Ef myndin hér til hliðar er klippt út og brotin saman þannig að út fæst teningur, þá er hliðin á móti hliðinni sem merkt er með $D$ merkt með

Lausn

Ef $A$ er framhlið teningsins, þá er $L$ á hliðinni sem snýr upp og $D$ á hliðinni sem snýr niður.

Dæmi 11. Efra stig 1991-92

Á hversu marga vegu er unnt að skrifa töluna $875$ sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð?

Lausn

Táknum talnaröðina með $n+(n+1)+\cdots+(n+k)$. Þá er summan $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)$ svo að $(k+1)(2n+k)=2\cdot 875=1750$. Nú er $2^2\cdot 5^2\cdot 17$ frumþáttun $1750$ og $2n+k\geq k+1\geq 1$ sem við notfærum okkur til að gera eftirfarandi töflu yfir möguleg gildi á $k+1$ og $2n+k$.

$k+1$	2	5	7	10	14	25	35
$2 n + k$	875	350	250	175	125	70	50
$k$	$1$	$4$	$6$	$9$	$13$	$24$	$34$
$n$	$437$	$173$	$122$	$83$	$56$	$23$	$8$

Sjáum að það má á alls 7 vegu skrifa 875 sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð.

Dæmi 11. Neðra stig 1991-92

Hornpunktar samsíðungs $P Q R S$ í hnitasléttu hafa hnit $P=(-3,-1)$, $Q=(0,a)$, $R=(7,11)$ og $S=(b,c)$. Talan $ a + b + c $ er jöfn

Lausn

Þar sem hliðarnar $PQ$ og $SR$ eru jafn langar og samsíða, þá er mismunurinn á $x$—hnitum $Q$ og $P$ sá sami og mismunurinn á $x$—hnitum $R$ og $S$ eða $3=7-b$. Eins fæst $a+1=11-c$ þegar við athugum $y$—hnitin. En þá er $b=4$ og $a+c=10$ svo $a+b+c=14$.