1991-92 | stæ.is

Dæmi 5. Neðra stig 1991-92

Píluskífa hefur þrjá hringi (sjá mynd). Fjöldi stiga sem fást fyrir að lenda í hverju svæðanna þriggja er eins og sýnt er á myndinni. Minnsti fjöldi pílukasta sem þarf til þess að hljóta nákvæmlega 21 stig er

Lausn

Til að ná stigatölunni 21 þarf að minnsta kosti 5 köst, því fjögur köst í það svæði sem veitir flest stig gefur aðeins 20 stig. Fljótséð er að það má ná 21 stigi í 5 köstum með því að kasta 3 pílum í svæðið sem gefur 5 stig og 2 pílum í svæðið sem gefur 3 stig.

Dæmi 3. Neðra stig 1991-92

Talan $\displaystyle\frac{\frac{3}{7} -1}{1-\frac{7}{3}}$ er jöfn

Lausn

Höfum að $$\frac{\frac{3}{7} - 1}{1-\frac{7}{3}} =\frac{ -\frac{4}{7} }{ -\frac{4}{3} }=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{7}.$$

Dæmi 20. Neðra stig 1991-92

Talan $(1^2+3^2+5^2+\cdots+99^2)-(2^2+4^2+6^2+\cdots+100^2)+ (4+8+12+\cdots+200)$ er jöfn

Lausn

Ef við tökum saman $k$-tu liðina í hverjum sviga, þá eru þeir $$(2k-1)^2-(2k)^2+4k=-4k+1+4k=1.$$ Þeir eru 50 talsins, svo summan er 50.

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1991-92

Í skóla nokkrum eru $1000$ nemendur. Í skólanum er kenndur fjöldi tungumála. Hver nemandi lærir í mesta lagi $5$ tungumál. Svo vill til, að í sérhverjum hópi þriggja nemenda er hægt að finna tvo sem læra sama tungumálið. Sýnið að hægt sé að finna að minnsta kosti $100$ nemendur sem læra allir sama tungumálið.

Lausn

Tökum einhvern nemanda $A$. Fyrst skulum við gera ráð fyrir að ekki sé til nemandi $B$ þannig $B$ læri ekkert þeirra tungumála sem $A$ lærir. Þá lærir sérhver nemandi að minnsta kosti eitt þeirra tungumála sem $A$ lærir. Því má skipta nemendunum í hópa, jafnmarga og tungumálin eru sem $A$ lærir þannig að allir nemendurnir í hverjum hópi læri eitthvert tiltekið mál sem $A$ lærir. Nú lærir $A$ í mesta lagi $5$ tungumál og þegar $1000$ nemendum er skipt í hópa, $5$ eða færri, þá er gulltryggt að í einhverjum hópnum verða að minnsta kosti $100$ nemendur.

Gerum nú ráð fyrir að til sé nemandi $B$ sem lærir ekkert þeirra tungumála sem $A$ lærir. Þá segir skilyrðið í dæminu okkur að allir nemendur skólans læri að minnsta kosti eitt þeirra tungumála sem $A$ og $B$ læra. Samanlagt læra $A$ og $B$ í mesta lagi $10$ tungumál. Nú getum við eins og áður skipt nemendunum í hópa, ekki fleiri en $10$, þannig að allir nemendur í sama hópi læri eitthvert tiltekið tungumál sem annaðhvort $A$ eða $B$ læra. Þá er ljóst að í einhverjum hópnum verða að minnsta kosti $100$ nemendur.

Dæmi 4. Neðra stig 1991-92

Ummál rétthyrningsins, sem er sýndur hér, er

Lausn

Gagnstæðar hliðar eru jafn langar í rétthyrningum svo að $3x=15$. Þá er $x=5$ og ummálið því $2(15+(6\cdot 5 + 4))= 2\cdot 49=98$.

Dæmi 21. Neðra stig 1991-92

Á hversu marga vegu er unnt að skrifa töluna $135$ sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð?

Lausn

Skrifum tölurnar sem $n,\, n+1,\, \ldots, n+k$. Þá er summa þeirra $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)$ svo að $(k+1)(2n+k)=2\cdot 135=270$. Nú er $2\cdot 3^3\cdot 5$ frumþáttun $270$ og $2n+k\geq k+1\geq 1$. Við gerum okkur eftirfarandi töflu yfir möguleg gildi $k+1$ og $2n+k$ og reiknum út möguleg gildi $n$.

$k+1$	$2$	$3$	$5$	$6$	$9$	$10$	$15$
$2 n + k$	$135$	$90$	$54$	$45$	$30$	$27$	$18$
$k$	$1$	$2$	$4$	$5$	$8$	$9$	$14$
$n$	$67$	$44$	$25$	$20$	$22$	$9$	$2$

Sjáum þá að alls er hægt að skrifa 135 sem summu tveggja eða fleiri náttúrlegra talna í röð á 7 vegu.

Dæmi 6. Neðra stig 1991-92

Ef talan $\displaystyle\frac{5(10^{12}-1)}{9}$ er skrifuð í tugakerfinu, hversu oft kemur tölustafurinn 5 fyrir?

Lausn

Höfum að$$ \begin{aligned} \frac{5(10^{12}-1)}{9}&=\frac{5}{9}\cdot 999.999.999.999 =5\cdot 111.111.111.111\\ &=555.555.555.555. \end{aligned}$$

Dæmi 22. Neðra stig 1991-92

Ákvarðið öll $a$ þannig að jafnan $ax^2-5x+1=0$ hafi tvær ólíkar rætur sem liggja báðar á bilinu $\{x:0\lt x\lt 1\}$.

Lausn

Margliðan $p(x)=ax^2-5x+1$ hefur tvær ólíkar rauntölurætur þá og því aðeins að aðgreinir hennar, $25-4a$, sé jákvæður, það er $a\lt \frac{25}{4}$. Ræturnar liggja hvor sínu megin við samhverfuás fleygbogans, sem hefur jöfnuna $x=-\frac{-5}{2 a}=\frac{5}{2a}$, og því verður samhverfuásinn að skera $x$-ásinn á bilinu $]0,1[$, það er $0\lt \frac{5}{2a}\lt 1$. En þá er $a$ jákvæð svo fleygboginn opnast upp. Þar sem $p(0)=1\gt 0$, þá er stærri rótin á bilinu $]0,1[$ þá og því aðeins að $a-4=p(1)\gt 0$, það er $a\gt 4$. Höfum þá séð að margliðan hefur tvær núllstöðvar á bilinu $]0,1[$ þá og því aðeins að um $a$ gildi að $4\lt a\lt \frac{25}{4}$.

Dæmi 7. Neðra stig 1991-92

Minnsta jákvæða náttúrlega tala sem allar náttúrlegar tölur frá $1$ upp í $10$ ganga upp í er

Lausn

Minnumst þess að frumtala er náttúrleg tala stærri en eða jöfn 2, þannig að engar aðrar tölur en 1 og hún sjálf ganga upp í hana. Fyrstu frumtölurnar eru 2, 3, 5, 7, 11, 13. Frumþættir náttúrlegrar tölu $n$ eru þær frumtölur sem ganga upp í $n$. Minnsta samfeldi gefinna náttúrlegra talna er minnsta talan sem allar gefnu tölurnar ganga upp í. Af þeirri staðreynd að sérhverja náttúrlega tölu má skrifa ótvírætt sem margfeldi frumþátta sinna leiðir, að minnsta samfeldi gefinna talna er margfeldi velda af frumþáttum þeirra, og hver frumþáttur kemur fyrir í hæsta veldi þa hæstu velda þeirra frumþátta gefnu talnanna sem ganga upp í einhverja af gefnu tölunum. Taflan hér að neðan gefur frumþáttun talnanna frá 1 upp í 10 og af henni lesum við að minnsta samfeldi þeirra er $2^3\cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7=2520$.

Dæmi 23. Neðra stig 1991-92

Látum $ABC$ vera þríhyrning. Punkturinn $P$ liggur innan í $AB C$ þannig að $|PA|=4$, $|PB|=2$ og $|PC|=1$.

(a) Ef $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA$, sannið að $\angle ACB=90^\circ$.

(b) Ef $\angle ACB=90^\circ$ og $\angle APB=\angle BPC$, sannið að $\angle CPA=120^\circ$.

Lausn

(a) Við byrjum á að athuga að $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^\circ$ og einnig að $\cos(120^\circ)=-\frac{1}{2}$. Við beitum kósinusreglunni á þríhyrningana $A B P$, $B C P$ og $C A P$ og fáum $$ \begin{aligned} |AB|^2&=|PA|^2+|PB|^2-2\cdot|PA|\cdot|PB|\cdot\cos(120^\circ)\\ &=4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\cdot(\textstyle-\frac{1}{2})=28,\\ |BC|^2&=|PB|^2+|PC|^2-2\cdot|PB|\cdot|PC|\cdot\cos(120^\circ)\\ &=2^2+1^2-2\cdot2\cdot1\cdot(\textstyle-\frac{1}{2})=7,\\ |CA|^2&=|PC|^2+|PA|^2-2\cdot|PC|\cdot|PA|\cdot\cos(120^\circ)\\ &=1^2+4^2-2\cdot1\cdot4\cdot(\textstyle-\frac{1}{2})=21. \end{aligned} $$ Þá er $|BC|^2+|CA|^2=7+21=28=|AB|^2$, sem sýnir að $\angle ACB=90^\circ$. (Minnumst þess að regla Pýþagorasar segir ekki aðeins að summa ferninga skammhliðanna í rétthyrndum þríhyrningi sé jöfn ferningi langhliðarinnar, heldur einnig að ef svo er, þá sé þríhyrningurinn rétthyrndur.)

(b) Látum $\alpha=\angle APB=\angle BPC$ og $x=\cos\alpha$. Þá er $\angle CPA=360^\circ-2\alpha$ og því $$\cos(\angle CPA)=\cos(360^\circ-2\alpha)=\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1=2x^2-1.$$ Samkvæmt kósínusreglu er $$ \begin{aligned} |AB|^2&=|PA|^2+|PB|^2-2\cdot|PA|\cdot|PB|\cdot\cos(\alpha)=20-16x,\\ |BC|^2&=|PB|^2+|PC|^2-2\cdot|PB|\cdot|PC|\cdot\cos(\alpha)=5-4x,\\ |CA|^2&=|PC|^2+|PA|^2-2\cdot|PC|\cdot|PA|\cdot\cos(2\alpha) =17-8\cdot(2x^2-1)\\&=25-16x^2. \end{aligned} $$ Þar sem $\angle ACB=90^\circ$, þá er $|AB|^2=|BC|^2+|CA|^2$ og því $$ (5-4x)+(25-16x^2)=20-16x $$ það er $8x^2-6x-5=0$. Þessi jafna hefur ræturnar $x=-\frac{1}{2}$ og $x=\frac{5}{4}$. Einungis hin fyrri kemur til greina því $x=\cos\alpha \leq 1$, svo að $\cos\alpha=-\frac{1}{2}$ og því $\alpha=120^\circ$. Þar með er $\angle CPA=360^\circ-2\cdot120^\circ=120^\circ$.

Önnur lausn

Við tökum eftir að þríhyrningarnir $APB$ og $BPC$ eru einslaga því $|AP|=2|BP|$, $|BP|=2|PC|$ og $\angle APB=\angle BPC$. Því er $|AB|=2|BC|$.

(a) Nú er $$ \begin{aligned} \angle ABC&=\angle ABP+\angle PBC=\angle ABP+\angle PAB\\&=180^\circ-\angle APB=180^\circ-120\deg=60^\circ.\end{aligned} $$ Við sjáum því að ef $M$ er miðpunktur $AB$, þá er $MBC$ jafnhliða þríhyrningur og því $|MC|=|MB|$. Þá liggur $C$ á hringnum með miðstreng $AB$ og því er $\angle ACB=90^\circ$ því hornið $\angle ACB$ spannar miðstreng í hringnum.

(b) Þar sem $\angle ACB=90\deg$, þá er $|BC|=|AB|\cos\angle ABC$. En við höfum þegar tekið eftir að $|AB|=2|BC|$ svo $\cos\angle ABC=\frac{1}{2}$ og því $\angle ABC=60^\circ$. Þá er $$ 60^\circ=\angle ABC=\angle ABP+\angle PBC=\angle ABP+\angle PAB=180^\circ-\angle APB$$ svo að $\angle BPC=\angle APB=120^\circ$ og því $\angle CPA=360^\circ-2\cdot 120^\circ=120^\circ$.