Við látum $a$ tákna þykkt bókanna og látum $x$ tákna hornið sem skálínan myndar við botninn eins og sýnt er á myndinni. Botninn samansetndur af þremur línustrikum og því fáum við jöfnuna $$cos(x) +asin(x)+a=1.$$ Hæðin til vinstri samanstendur af tveimur strikum og við fáum því jöfnuna $$acos(x)+sin(x)=1.$$ Ef við margföldum seinni jöfnuna með $a$ og drögum frá þeirri fyrri fáum við $$(1-a^2)cos(x)=1-2a$$ og þegar við margföldum fyrri jöfnuna með $a$ og drögum frá þeirri seinni fáum við $$(1-a^2)sin(x)=1-a+a^2.$$

Nú notfærum við okkur að $cos^2(x)+sin^2(x)=1$. Þá fáum við eftirfarandi jafngildu jöfnur fyrir $x$ $$ \begin{aligned} (1-a^2)^2&=(1-2a)^2+(1-a+a^2)^2, \\ 1-2a^2+a^4&=1-4a+4a^2+1+a^2+a^4-2a+2a^2-2a^3, \\ 0&=1-6a+9a^2-2a^3. \end{aligned} $$ Auðvelt er að sannfæra sig um að $a= \frac{1}{2}$ er lausn (það er tilfellið þegar báðar bækurnar standa uppréttar og fylla út í bókaskápinn) og við getum þá þáttað hægri hliðina í síðustu jöfnunni $$ 2a^3-9a^2+6a-1=(2a-1)(a^2-4a+1). $$ Annars stigs þátturinn hefur núllstöðvarnar $a=2\pm \sqrt{3}$ en aðeins önnur þeirra er á bilinu $[0,1]$. Svarið er því að þykktin er $2-\sqrt{3}$ lengdareiningar.

Þar sem engin frumtala hærri en $5$ gengur upp í neinni talnanna og einungis er um oddatölur að ræða, þá eru tölurnar $a_1,\dots,a_n$ margfeldi af heiltöluveldum af $3$ og $5$. Við getum því skrifað þær sem $a_m=3^{j_m}5^{k_m}$. Veljum nú $N$ það stórt að allar tölurnar $a_1,\dots,a_n$ séu í menginu $\{3^j5^k: 0\leq j\leq N, 0\leq k\leq N\}$. Við höfum þá að $$ \begin{aligned} \frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n} &\leq 1\cdot \bigg(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\cdots+\frac{1}{5^N}\bigg)\\ &+\frac{1}{3}\cdot \bigg(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\cdots+\frac{1}{5^N}\bigg)\\ &\quad\quad \vdots\quad\quad\quad\quad \vdots \quad\quad\quad\quad \vdots\\ &+\frac{1}{3^N}\cdot \bigg(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\cdots+\frac{1}{5^N}\bigg)\\ &=\bigg(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^N}\bigg)\cdot\bigg(1+\frac{1}{5} +\frac{1}{5^2}+\cdots+\frac{1}{5^N}\bigg). \end{aligned} $$ Nú notum við formúluna fyrir jafnhlutfallaröð, $$ \begin{aligned} 1+\frac{1}{3}+\frac 1{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^N} =\frac{1-1/3^{N+1}}{1-1/3}\lt \frac{1}{1-1/3} = \frac{3}{2},\\ 1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\cdots+\frac{1}{5^N} =\frac{1-1/5^{N+1}}{1-1/5}\lt\frac{1}{1-1/5} = \frac{5}{4}. \end{aligned} $$ Þar með er $$ \frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n} \leq \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{4} =\frac{15}{8}\lt 2. $$

Ef seinni jafnan er uppfyllt, þá er $x=a+\sqrt x$ og af því leiðir að $a+\sqrt{a+\sqrt x}=a+\sqrt x=x$ og fyrri jafnan er uppfyllt. Öfugt, ef fyrri jafnan er uppfyllt og við setjum $y=x-a$, þá er $y=\sqrt{x-y+\sqrt x}$ og þar með $y^2+y=x+\sqrt x$. Ef við leggjum $\frac{1}{4}$ við beggja vegna jafnaðarmerkisins í þessari jöfnu, þá fáum við jafngildu jöfnuna $$ \left(y+\tfrac{1}{2}\right)^2=\left(\sqrt x+\tfrac{1}{2}\right)^2. $$ Báðar tölurnar $y$ og $\sqrt x$ eru jákvæðar og því fáum við að $y=\sqrt x$, en það jafngildir seinni jöfnunni.

Til að finna allar lausnir jafnanna, þá setjum við $y=\sqrt{x}$ og getum þá ritað $x=a+\sqrt{x}$ sem $y^2-y-a=0$. Þessi jafna hefur aðeins rauntölulausnir þegar $1+4 a\geq 0$, það er $a\geq -\frac{1}{4}$, og þær eru $$y_{\pm}=\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2}=\frac12\pm\sqrt{a+\frac{1}{4}}.$$ En nú er $y=\sqrt{x}\geq 0$ svo $y_-$ er aðeins lausn þegar $a\leq 0$. Höfum því að $y_\pm^2$ eru allar lausnir $x=a+\sqrt{x}$ ef $-\frac{1}{4}\leq a\leq 0$, að $y_+^2$ er eina lausn $x=a+\sqrt{x}$ ef $a\geq 0$ og að $x=a+\sqrt{x}$ hefur enga lausn ef $a\lt -\frac{1}{4}$.

Táknum hornpunkta ferningsins með $A$, $B$, $C$ og $D$. Hugsum okkur að við höfum djúpan kassa með grunnflöt $20 \times 20$. Samkvæmt reglu Pýþagorasar er lengd hornalínu grunnfaltar kassans $20\sqrt{2}$ sem er stærri tala en $21$ og því getum við stungið ferningnum niður í kassann þannig að hliðin $A B$ liggi á botni hans. Við ýtum nú hliðinni $A B$ út í eitt hornið á botninum þannig að hún myndi rétthyrndan jafnarma þríhyrning með einum hornpunkti grunnflatarins sem við köllum $R$. Látum $S$ vera hinn endapunkt þeirrar hliðar grunnflatarins sem $B$ liggur á. Þá er $21^2=2\cdot |R B|^2$ samkvæmt reglu Pýþagorasar. Því næst höllum við ferningnum þannig að punktarnir $C$ og $D$ hvíli á hliðum kassans gengt hliðunum sem $A$ og $B$ snerta. Látum $P$ vera fótpunkt ofanvarps punktsins $C$ á grunnflötinn. Nú er $B S P$ rétthyrndur jafnarma þríhyrningur, $|B S|=20-|R B|$ og regla Pýþagorasar gefur þá að $|B P|^2=2(20-x)^2$. Enn gefur regla Pýþagorasar, nú beitt á þríhyrninginn $B P C$, að $|C P|^2=|B C|^2-|B P|^2=21^2-2(20-|R B|)^2$. Við viljum sýna að $|C P|\lt 20$ því þá getum við ályktað að ferningurinn komist ofan í teningslaga kassa með brúnalengdir $20$. Höfum að: $$ \begin{aligned} \frac{|C P|^2}{20^2} &=\left(\frac{21}{20} \right)^2-2\left(1-\frac{|R B|}{20} \right)^2 =\left(\frac{21}{20} \right)^2-2\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{21}{20} \right)^2 \\ &=2\sqrt{2}\cdot \frac{21}{20}-2 =2\left(\sqrt{2}\cdot \frac{21}{20}-1 \right)\lt 1 \end{aligned} $$ því $\frac{21}{20}\sqrt{2}-1\lt \frac{1}{2}$ þá og því aðeins að $21\sqrt{2}-20\lt 10$ sem gildir þá og því aðeins að $21\sqrt{2}\lt 30$ sem er jafngilt því að $7\sqrt{2}\lt 10$ sem aftur jafngildir $49\cdot 2\lt 100$ sem er augljóslega rétt. Því er $|C P|\lt 20$ og við sjáum þá að ferningurinn kemst ofan í tening með brúnalengdir $20$.