Flatarmál $b$ er jafnt flatarmáli hringfjórðungsins að frádregnu flatarmáli hálfhringanna tveggja og að viðbættu flatarmáli $a$ (því að flatarmál $a$ er reiknað með í báðum hálfhringunum). Þá fæst $$b=\frac{1}{4}\cdot \pi\cdot r^2-2\cdot\frac{1}{2}\cdot \pi\cdot\left(\frac{r}{2}\right)^2+a=a,$$ þar sem $r=|OP|$, svo að $\frac{a}{b}=1$.

Látum $PQ$ vera miðstreng hrings með geisla $r$ og $O$ vera miðpunkt hans. Látum $A$, $B$ og $C$ vera hornpunkta þríhyrnings sem liggja á strikinu $PQ$ eða á hringnum þannig að engir tveir punktar séu hvor sínu megin við strikið $PQ$. Ef tveir hornpunkta þríhyrningsins eru á strikinu $PQ$, segjum $A$ og $B$, þá er $|AB|\leq 2r$ og hæðin á hliðina $AB$ getur ekki verið meiri en $r$. Flatarmál þríhyrningsins er því ekki stærra en $\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r=r^2$. Ef hinsvegar tveir hornpunktar þríhyrningsins liggja á hringnum, segjum $A$ og $B$, og $C$ liggur á strikinu $PQ$, þá er annaðhvort $O=C$ eða $O$ liggur innaní öðru hornanna $\angle CAB$ eða $\angle ABC$, segjum $\angle CAB$. Í báðum tilfellum drögum við línuna gegnum $O$ samsíða $BC$. Þá sjáum við að hæðin á hliðina $CB$ er ekki stærri en $r$ og $|BC|\leq 2r$ svo flatarmál þríhyrningsins er ekki meira en $\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r=r^2$. Ef allir punktarnir $A$, $B$ og $C$ eru á hringnum, segjum í röðinni $P$, $A$, $B$, $C$, $Q$, þá drögum við línuna í gegnum $O$ samsíða strikinu $AC$. Þá er þríhyrningurinn áfram allur sömu megin við nýju línuna og við getum því gert ráð fyrir að $AC$ sé samsíða $PQ$. En þá er ljóst að $|AC|\leq 2r$ og hæðin á hliðina $AC$ er minni en $r$ svo flatarmál $ABC$ er ekki meira en $\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r=r^2$. Höfum nú séð að flatarmál þríhyrningsins $ABC$ getur aldrei orðið meira en $r^2$. Það getur hinsvegar verið jafnt $r^2$ því ef $R$ er annar skurðpunkta hringsins við þverilinn á $PQ$ í $O$, þá er flatarmál $PQR$ einmitt $\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r=r^2$.

Látum $A$ og $B$ tákna miðpunkta hringanna og $C$ vera annan skurðpunkta þeirra. Þá er þríhyrningurinn $ABC$ jafnhliða því allar hliðar hans eru geislar hringanna. Táknum flatarmál hringgeirans sem hornið $\angle ABC$ spannar með $F_{AC}$ og flatarmál hringgeirans sem hornið $\angle BAC$ spannar með $F_{BC}$. Þar sem þríhyrningurinn $ABC$ er jafnarma er $F_{AC}=F_{BC}$ sjöttihluti flatarmáls hvors hrings eða $\frac{\pi}{6}$. Flatarmál þríhyrningsins $ABC$ er $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Þá er flatarmálið sem er innaní báðum hringunum $4\cdot \frac{\pi}{6}-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Með því að snúa minni ferningnum, þá getum við gert ráð fyrir að hornpunktar hans falli saman við snertipunkta hringsins við stærri ferninginn, eins og sýnt er á myndinni. Við tökum þá eftir að flatarmál stærri ferningsins er tvöfalt flatarmál þess minni. Til að sjá það drögum við einfaldlega hornalínur minni ferningsins. Ef við táknum flatarmál þess stærri með $F$ og þess minni með $f$, þá höfum við jöfnurnar $F-f=32$ og $F=2f$ sem saman gefa $f=32$ og $F=64$. Hliðarlengd stærri ferningsins er þá 8 og geisli hringsins 4.