Skip to Content

Vörpun

08/2011 - Einar Bjarki Gunnarsson

Vörpun $f$ frá mengi $X$ yfir í mengið $Y$ er forskrift eða regla sem úthlutar sérhverju staki úr $X$ nákvæmlega einu staki úr $Y$. Stakið úr $Y$ sem $f$ úthlutar $x$ er táknað með $f(x)$ og kallast gildi vörpunarinnar $f$ í $x$. Jafnframt er sagt að $f$ varpi $x$ í $f(x)$. Mengið $X$ kallast skilgreiningarmengi vörpunarinnar og mengið $Y$ kallast bakmengi hennar. Rithátturinn $f: X \to Y$ er notaður til að tákna vörpun $f$ með skilgreiningarmengi $X$ og bakmengi $Y$ og ef forskrift hennar er þekkt er hún látin fylgja.

Samsemdarvörpun

08/2011 - Einar Bjarki Gunnarsson

Látum $X$ vera mengi. Vörpunin frá $X$ yfir í $X$ sem varpar sérhverju staki úr $X$ í sjálft sig kallast samsemdarvörpun mengisins $X$ og er táknuð með $\mathrm{id}_X$. Með öðrum orðum er samsemdarvörpunin sú vörpun $\mathrm{id}_X: X \to X$ sem hefur forskriftina $\mathrm{id}_X(x) = x$.

Einskorðun

08/2011 - Einar Bjarki Gunnarsson

Látum $f: X \to Y$ vera vörpun og $A$ vera hlutmengi í $X$. Sagt er að vörpunin \[ f|_A : A \to Y; \quad f|_A(x) = f(x) \] sé einskorðun vörpunarinnar $f$ við mengið $A$. Eini munurinn á $f$ og $f|_A$ er að $f$ hefur skilgreiningarmengið $X$ meðan $f|_A$ hefur skilgreiningarmengið $A$.

  • Varprit

Graf (vörpunar)

08/2011 - Einar Bjarki Gunnarsson

Látum $f: X \to Y$ vera vörpun. Mengi allra tvennda af gerðinni $(x,f(x))$, þar sem $x \in X$, kallast graf vörpunarinnar $f$ og er táknað með $G_f$. Það má rita á forminu \[ G_f = \{(x,f(x)) \mid x \in X\}. \]

  • Myndmengi
  • Varpmengi

Mynd (vörpunar)

08/2011 - Einar Bjarki Gunnarsson

Látum $f: X \to Y$ vera vörpun. Mynd vörpunarinnar $f$ af skilgreiningarmenginu $X$, þ.e. mengi allra gilda sem vörpunin tekur, kallast mynd vörpunarinnar $f$. Hana má rita á forminu \[ f(X) = \{ f(x) \in Y \mid x \in X \}. \]

  • Myndmengi

Mynd (vörpunar af hlutmengi)

08/2011 - Einar Bjarki Gunnarsson

Látum $f: X \to Y$ vera vörpun og $A$ vera hlutmengi í $X$. Mengi allra gilda sem $f$ tekur á menginu $A$ er táknað með $f(A)$ og kallast mynd vörpunarinnar $f$ af menginu $A$. Hana má rita á forminu \[ f(A) = \{f(x) \in Y \mid x \in A\}. \]

  • Formynd
  • Öfug mynd

Frummynd

08/2011 - Einar Bjarki Gunnarsson

Látum $f: X \to Y$ vera vörpun og $B$ vera hlutmengi í $Y$. Mengi þeirra staka úr $X$ sem $f$ varpar í stak úr $B$ er táknað með $f^{-1}(B)$ og kallast frummynd vörpunarinnar $f$ af menginu $B$. Hana má rita á forminu \[ f^{-1}(B) = \{x \in X \mid f(x) \in B\}. \]

Trefja

08/2011 - Einar Bjarki Gunnarsson

Látum $f: X \to Y$ vera vörpun og $y$ vera stak úr $Y$. Frummynd $f$ af einstökungnum $\{y\}$, þ.e. mengi þeirra staka úr $X$ sem $f$ varpar í $y$, kallast trefja vörpunarinnar $f$ af stakinu $y$. Þegar ekki er hætta á misskilningi er trefjan $f^{-1}(\{y\})$ einfaldlega táknuð með $f^{-1}(y)$. Hana má einnig skilgreina sem mengi allra lausna jöfnunnar $f(x) = y$ og því má rita hana á forminu. \[ f^{-1}(y) = \{x \in X \mid f(x) = y\}. \]

Eintæk (vörpun)

08/2011 - Einar Bjarki Gunnarsson

Látum $f: X \to Y$ vera vörpun. Ef $f$ varpar ólíkum stökum úr skilgreiningarmenginu $X$ í ólík stök úr bakmenginu $Y$, þ.e. ef fyrir sérhver $x_1, x_2 \in X$ með $x_1 \neq x_2$ gildir að $f(x_1) \neq f(x_2)$, er sagt að $f$ sé eintæk.

Að $f$ varpi ólíkum stökum úr $X$ í ólík stök úr $Y$ má einnig orða svo að ef $f$ varpar tveimur stökum $x_1$ og $x_2$ úr $X$ í sama stakið úr $Y$, þá verði $x_1$ og $x_2$ að vera sama stakið. Með öðrum orðum er $f$ eintæk ef og aðeins ef fyrir sérhver $x_1, x_2 \in X$ með $f(x_1) = f(x_2)$ gildir að $x_1 = x_2$.

Átæk (vörpun)

08/2011 - Einar Bjarki Gunnarsson

Sagt er að vörpun $f: X \to Y$ sé átæk ef myndin $f(X)$ og bakmengið $Y$ eru sama mengið, þ.e. ef $f(X) = Y$.

Syndicate content


by Dr. Radut.