Mengi er safn vel skilgreindra hluta. Hlutirnir sem mynda mengið kallast stök þess og þeir geta verið af hvaða tagi sem er, t.d. má tala um mengi allra ríkja í Evrópu og mengi allra heilla talna. Ríkin Andorra, Belgía og Króatía eru þá dæmi um stök í fyrra menginu og tölurnar $2$, $-7$ og $33$ eru dæmi um stök í seinna menginu. Óformlega má líta á mengi sem ílát sem inniheldur ákveðna hluti og eru stökin í menginu þá hlutirnir í ílátinu.
Oft eru slaufusvigar notaðir til að tákna mengi og eru þá stök mengisins talin upp innan sviganna og aðskilin með kommu. Til dæmis er $\{1,2,3,4\}$ mengið sem inniheldur stökin $1$, $2$, $3$ og $4$. Að $x$ sé stak í menginu $A$ er almennt táknað með $x \in A$ og að $x$ sé ekki stak í menginu $A$ er táknað með $x \notin A$. Ef $A$ táknar mengið $\{1,2,3,4\}$ gildir til dæmis að $1 \in A$ og $3 \in A$ því $1$ og $3$ eru stök í $A$ en hins vegar er $0 \notin A$ og $7 \notin A$ því hvorki $0$ né $7$ eru stök í $A$.
Tvö mengi $A$ og $B$ eru sögð vera jöfn (þ.e. sama mengið) ef þau hafa sömu stökin og þá er ritað $A = B$. Þessi skilgreining leiðir af sér tvo mikilvæga eiginleika mengjahugtaksins: Í fyrsta lagi skiptir ekki máli í hvaða röð stökin koma fyrir í menginu og í öðru lagi skiptir ekki máli hversu oft eitthvað tiltekið stak kemur fyrir í menginu. Til dæmis eru mengin $\{1,2,3,4\}$ og $\{4,3,2,1\}$ jöfn því bæði hafa stökin $1$, $2$, $3$ og $4$. Mengin $\{1,2,3,4\}$ og $\{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4\}$ eru einnig jöfn af sömu ástæðu.
Tvö mengi $A$ og $B$ eru jöfn ef og aðeins ef $A$ er hlutmengi í $B$ og $B$ er hlutmengi í $A$, þ.e. \[ A = B \quad \Leftrightarrow \quad A \subseteq B \quad \text{og} \quad B \subseteq A. \]
Rithættir
Aðferðin sem notuð er að ofan til að lýsa menginu $\{1,2,3,4\}$, þ.e. að telja upp öll stök þess innan slaufusviga, dugar skammt þegar stökin verða fleiri. Oft fylgja stök mengisins einhverri einfaldri reglu og þá nægir að telja upp nógu mörg stök til að reglan verði ljós ásamt punktalínum sem settar eru í stað stakanna sem vantar í upptalninguna.
Dæmi: Mengi allra heilla talna milli $1$ og $100$ má rita á forminu \[ \{1,2,3,4,\ldots,100\}. \]
Dæmi: Mengi allra sléttra talna má rita á forminu \[ \{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}. \]
Algengast er þó að stök mengisins tilheyri einhverju þekktu mengi $A$ og hafi sameiginleikan eiginleika sem lýsa má með opinni yrðingu $p(x)$. Þá má rita mengið sem lausnamengi opnu yrðingarinnar $p(x)$ í þekkta menginu $A$, þ.e. \[ \{x \in A \mid p(x)\}. \]
Dæmi: Stök mengisins $\{1,2,3,4,\ldots\}$ tilheyra öll mengi náttúrulegra talna og þau eiga það sameiginlegt að vera á milli $1$ og $100$. Þetta mengi má því rita sem lausnamengi opnu yrðingarinnar $p(x)$: „$1 \leq x \leq 100$“ í menginu $\mathbb{N}$, þ.e. \[ \{x \in \mathbb{N} \mid 1 \leq x \leq 100\}. \]
Dæmi: Stök mengisins $\{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}$ tilheyra öll mengi heilla talna og þau eiga það sameiginlegt að vera sléttar tölur. Þetta mengi má því rita sem lausnamengi opnu yrðingarninar $q(x)$: „$x$ er slétt tala“ í menginu $\mathbb{Z}$, þ.e. \[ \{x \in \mathbb{Z} \mid x \;\text{er slétt tala} \}. \]
Tóma mengið
Á sama hátt og ílát getur verið tómt, þ.e. innihaldið engan hlut, getur mengi verið tómt, þ.e. haft ekkert stak. Til er nákvæmlega eitt slíkt mengi, sem kallast tóma mengið og er táknað með $\displaystyle \varnothing$. Það má rita á forminu \[ \varnothing = \{ \; \}. \]
Einstökungur
Mengi sem hefur nákvæmlega eitt stak kallast einstökungur. Til dæmis eru mengin $\{0\}$ og $\{a\}$ einstökungar en $\{0, 1\}$ og $\{a, b, c\}$ eru það ekki.