Látum $f: X \to Y$ vera fall þar sem $X$ og $Y$ eru hlutmengi í mengi rauntalna. Sagt er að $f$ sé einhalla ef það er vaxandi eða minnkandi og sagt er að $f$ sé stranglega einhalla ef það er stranglega vaxandi eða stranglega minnkandi.
Sérhvert stranglega einhalla fall $f: X \to Y$ er eintækt. Ef það er átækt er það því andhverfanlegt og þá er andhverfan $f^{-1}: Y \to X$ líka stranglega einhalla með sama halla og $f$ (þ.e. $f^{-1}$ er stranglega vaxandi ef $f$ er stranglega vaxandi og $f^{-1}$ er stranglega minnkandi ef $f$ er stranglega minnkandi).
Vaxandi (fall)
Látum $f: X \to Y$ vera fall þar sem $X$ og $Y$ eru hlutmengi í mengi rauntalna. Sagt er að $f$ sé vaxandi ef það varðveitir röðun stakanna í $X$, þ.e. ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt á menginu $X$: \[ Ef \; x_1 \leq x_2, \text{þá er}\; f(x_1) \leq f(x_2). \] Með öðrum orðum er $f$ vaxandi ef fallgildið $f(x)$ helst jafnt eða stækkar eftir því sem $x$ stækkar. Þegar sýna á að tiltekið fall sé vaxandi getur eftirfarandi umritun á skilyrðinu að ofan verið gagnleg: \[ Ef \; x_2 - x_1 \geq 0, \text{þá er} \; f(x_2) - f(x_1) \geq 0. \] Fall $f$ er vaxandi ef og aðeins ef fallið $-f$ er minnkandi.
Sagt er að $f$ sé stranglega vaxandi ef sleppa má jafnaðarmerkjunum í skilyrðinu að ofan, þ.e. ef eftirfarandi er uppfyllt á menginu $X$: \[ Ef\; x_1 \lt x_2, \text{þá er}\; f(x_1) \lt f(x_2), \] Með öðrum orðum er $f$ stranglega vaxandi ef fallgildið $f(x)$ stækkar eftir því sem $x$ stækkar og sérhvert stranglega vaxandi fall er því sér í lagi vaxandi. Á sama hátt og áður getur eftirfarandi umritun verið gagnleg: \[ Ef\; x_2 - x_1 \gt 0, \text{þá er}\; f(x_2) - f(x_1) \gt 0. \] Fall $f$ er stranglega vaxandi ef og aðeins ef fallið $-f$ er stranglega minnkandi.
Munurinn á vaxandi og stranglega vaxandi föllum er sá að ef $f$ er vaxandi má fallgildið $f(x)$ haldast jafnt eftir því sem $x$ stækkar en ef $f$ er stranglega vaxandi verður $f(x)$ að stækka. Með öðrum orðum eru stranglega vaxandi föll eintæk á meðan vaxandi föll þurfa ekki að vera það. Myndirnar að neðan leiða þennan mun í ljós. Sú vinstri sýnir graf falls sem er vaxandi en ekki stranglega vaxandi en sú hægri sýnir graf falls sem er stranglega vaxandi.
Eins og kemur fram að ofan er sérhvert stranglega vaxandi fall $f: X \to Y$ eintækt. Ef það er átækt er það því andhverfanlegt og þá er andhverfan $f^{-1}: Y \to X$ er líka stranglega vaxandi.
Dæmi:
- Sýnum að fallið $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $f(x) = 2 x + 3$ sé stranglega vaxandi. Látum því $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ með $x_2 - x_1 \gt 0$ og athugum: \[ f(x_2) - f(x_1) = (2 x_2 + 3) - (2 x_1 + 3) = 2 (x_2 - x_1) \gt 0, \] því samkvæmt forsendu er $(x_2 - x_1) \gt 0$. Þetta sýnir að $f$ er stranglega vaxandi.
- Sýnum að fallið $g: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$; $g(x) = x^2$ sé stranglega vaxandi. Látum því $x_1, x_2 \in \mathbb{R}_+$ með $x_2 - x_1 \gt 0$ og athugum: \[ g(x_2) - g(x_1) = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1) \gt 0, \] því sviginn $(x_2 + x_1)$ er jákvæður þar sem $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^+$ og sviginn $(x_2 - x_1)$ er jákvæður samkvæmt forsendu. Þetta sýnir að $g$ er stranglega vaxandi.
Minnkandi (fall)
Látum $f: X \to Y$ vera fall þar sem $X$ og $Y$ eru hlutmengi í mengi rauntalna. Sagt er að $f$ sé minnkandi ef það umhverfir röðun stakanna í $X$, þ.e. ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt á menginu $X$: \[ Ef\; x_1 \leq x_2, \text{þá er}\; f(x_1) \geq f(x_2). \] Með öðrum orðum er $f$ minnkandi ef fallgildið $f(x)$ helst jafnt eða minnkar eftir því sem $x$ stækkar. Þegar sýna á að tiltekið fall sé minnkandi getur eftirfarandi umritun á skilyrðinu að ofan verið gagnleg: \[ Ef \; x_2 - x_1 \geq 0, \text{þá er} \; f(x_2) - f(x_1) \leq 0. \] Fall $f$ er minnkandi ef og aðeins ef fallið $-f$ er vaxandi.
Sagt er að $f$ sé stranglega minnkandi ef sleppa má jafnaðarmerkjunum í skilyrðinu að ofan, þ.e. ef eftirfarandi er uppfyllt: \[ Ef \; x_1 \lt x_2, \text{þá er}\; f(x_1) \gt f(x_2), \] Með öðrum orðum er $f$ stranglega minnkandi ef fallgildið $f(x)$ minnkar eftir því sem $x$ stækkar og sérhvert stranglega minnkandi fall er því sér í lagi minnkandi. Á sama hátt og áður getur eftirfarandi umritun verið gagnleg: \[ Ef \; x_2 - x_1 \gt 0, \text{þá er}\; f(x_2) - f(x_1) \lt 0. \] Fall $f$ er stranglega minnkandi ef og aðeins ef fallið $-f$ er stranglega vaxandi.
Munurinn á minnkandi og stranglega minnkandi föllum er sá að ef $f$ er minnkandi má fallgildið $f(x)$ haldast jafnt eftir því sem $x$ stækkar en ef $f$ er stranglega minnkandi verður $f(x)$ að minnka. Með öðrum orðum eru stranglega minnkandi föll eintæk á meðan minnkandi föll þurfa ekki að vera það. Myndirnar að neðan leiða þennan mun í ljós. Sú vinstri sýnir graf falls sem er minnkandi en ekki stranglega minnkandi en sú hægri sýnir graf falls sem er stranglega minnkandi.
Eins og fram kemur að ofan er sérhvert stranglega minnkandi fall $f: X \to Y$ eintækt. Ef það er átækt er það því andhverfanlegt og þá er andhverfan $f^{-1}: Y \to X$ líka stranglega minnkandi.
Dæmi:
- Sýnum að fallið $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $f(x) = - 2 x + 3$ sé stranglega minnkandi. Látum því $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ með $x_2 - x_1 \gt 0$ og athugum: \[ f(x_2) - f(x_1) = (- 2 x_2 + 3) - (- 2 x_1 + 3) = - 2 (x_2 - x_1) \lt 0, \] því samkvæmt forsendu er $(x_2 - x_1) \gt 0$. Þetta sýnir að $f$ er stranglega minnkandi.
- Sýnum að fallið $g: \mathbb{R}^- \to \mathbb{R}$; $g(x) = x^2$ sé stranglega minnkandi. Látum því $x_1, x_2 \in \mathbb{R}_-$ með $x_2 - x_1 \gt 0$ og athugum: \[ g(x_2) - g(x_1) = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1) \lt 0, \] því sviginn $(x_2 + x_1)$ er neikvæður þar sem $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^-$ og sviginn $(x_2 - x_1)$ er jákvæður samkvæmt forsendu. Þetta sýnir að $g$ er stranglega minnkandi.