Skip to Content

Dæmi 21. Neðra stig 1994-95

Í hvert svæðanna A, B, C, D, E, F, G er í byrjun lögð króna þannig að þorskurinn snúi upp. Tvær aðgerðir eru leyfilegar: (1) snúa öllum krónunum innan einhvers hringsins við; (2) sjá til þess að þorskurinn snúi upp á öllum krónunum innan einhvers hrings.

Dæmi 22. Neðra stig 1994-95

Hliðarnar í rétthyrndum þríhyrningi $A B C$ hafa lengdir $6, 8, 10$. Hringur með geisla 1 og miðju í $P$ rúllar innan í $A B C$ þannig að hann snertir alltaf eina hlið þríhyrningsins. Hversu langt hefur punkturinn $P$ farið þegar hringurinn er aftur kominn í upphaflega stöðu?




Dæmi 21. Neðra stig 1993-94

Inni í ferningi er minni ferningur þannig að hliðar þeirra eru samsíða. Dregin eru strik milli hornpunkta eins og myndin sýnir. Sýnið að samanlagt flatarmál $A$ og $C$ er jafnt samanlögðu flatarmáli $B$ og $D$.





Dæmi 22. Neðra stig 1993-94

Hversu margar náttúrlegar tölur hafa tölustafi sína í strangt vaxandi röð (eins og til dæmis talan $2458$)?

Dæmi 21. Neðra stig 1992-93

Um náttúrlegu tölurnar $a,b,c,d$ gildir að $a^5 = b^6$, $c^3=d^4$ og $d-a=61$. Finnið $a,b,c$ og $d$.

Dæmi 22. Neðra stig 1992-93

Á myndinni eru $A B$, $M N$ og $B C$ snertlar við hringinn sem hefur miðju í $O$. Gefið er að $\angle A B C=50^\circ$. Ákvarðið $\angle M O N$.





Dæmi 23. Neðra stig 1991-92

Látum $ABC$ vera þríhyrning. Punkturinn $P$ liggur innan í $AB C$ þannig að $|PA|=4$, $|PB|=2$ og $|PC|=1$.

(a) Ef $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA$, sannið að $\angle ACB=90^\circ$.

(b) Ef $\angle ACB=90^\circ$ og $\angle APB=\angle BPC$, sannið að $\angle CPA=120^\circ$.

Dæmi 14. Efra stig 1991-92

Ákvarðið allar lausnir á jöfnunni $\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3$.

Dæmi 16. Efra stig 1991-92

Reiknið summu logra (með grunntölu $10$) allra þátta tölunnar $1.000.000$.

Dæmi 17. Efra stig 1991-92

Látum $k$ vera tiltekna heila tölu. Skilgreinum runu $a_n=2^n k+1$ fyrir $n=0,1,2,\ldots$.

(a) Sannið að ekki sé til frumtala $p$ sem gengur upp í alla liði rununnar.

(b) Sannið að ekki séu til frumtölur $p$ og $q$ þannig að sérhver liður í rununni sé deilanlegur annað hvort með $p$ eða með $q$.

Syndicate content