1996-97 | stæ.is

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1996-97

Á fundi í Karphúsinu sátu $29$ menn saman í kringum hringborð. Allir þessir menn voru með þeim ósköpum fæddir að annaðhvort sögðu þeir aldrei satt orð eða hvert einasta orð sem þeir sögðu var satt. Og þar sem þeir sitja þarna í kringum borðið segja þeir allir í kór „Næst mér á báðar hendur sitja lygarar“. Sýnið að í það minnsta $10$ af mönnunum segja alltaf satt. Er mögulegt að nákvæmlega $10$ af þeim séu sannsöglir?

Lausn

(1) Um þá sem alltaf segja sannleikann gildir að næst þeim á báðar hendur sitja einstaklingar sem alltaf segja ósatt.
(2) Um þá sem alltaf segja ósatt gildir að næst þeim á báðar hendur situr a.m.k.\ einn einstaklingur sem alltaf segir satt.

Af (1) leiðir að aldrei mega tveir sannsöglir menn sitja hlið við hlið, því annars væri annar þeirra að ljúga. Af (2) leiðir að aldrei mega þrír lygarar sitja í röð, því að þá væri sá í miðjunni að segja satt. Á milli hverra tveggja sannsögla mann er annað hvort einn eða tveir lygarar, aldrei fleiri og aldrei færri.

Á hægri hönd hvers sannsöguls manns situr því að minnsta kosti einn lygari svo lygararnir eru fleiri en þeir sem segja satt. En það eru í mesta lagi tveir lygarar á hægri hönd hvers sannsöguls manns svo lygararnir eru ekki fleiri en tvöfalt fleiri en þeir sannsöglu. Höfum því að $$1\leq \frac{\text{fjöldi lygarar}}{\text{fjöldi sannsögla}}\leq 2.$$ Öfugt ef þessi ójafna er uppfyllt, þá getum við skipt mönnunum þannig í hópa að í hverjum er nákvæmlega einn sannsögull maður og annaðhvort einn eða tveir lygarar. Ef hóparnir sitja svo saman við borðið þannig að þegar farið er réttsælis þá sitji fyrst sá sannsögli og svo einn eða tveir lygarar, þá er augljóst að allir við borðið geta sagt: „Næst mér á báðar hendur sitja lygara“.

Nú sitja 29 manns við hringinn. Táknum með $s$ fjölda sannsögla mann. Þá er fjöldi lygara jafn $29-s$. Höfum þá að $$1\leq \frac{29-s}{s}\leq 2$$ og þegar þessi ójafna er leyst fæst að $9\frac{2}{3}\leq s\leq 14\frac{1}{2}$. Því er $s$ ein af tölunum $10$, $11$, $12$, $13$, $14$. Þeirra á meðal er $10$ svo það er mögulegt að nákvæmlega $10$ fundarmanna séu sannsöglir.

Dæmi 18. Neðra stig 1996-97

Tölurnar frá $1$ upp í $999$, að báðum meðtöldum, eru skrifaðar á blað. Hver er summa allra tölustafanna?

Lausn

Summa tölustafanna breytist ekki þó við byrjum á $0$ í stað $1$ og bætum $0$-um fyrir framan eins og tveggja stafa tölur þannig að allar tölurnar séu þriggja stafa. Nú er ljóst að við höfum skrifað alla tölustafina $0,1,\ldots, 9$ jafn oft. Þar sem við höfum alls skrifað $3000$ tölustafi þá hefur hver verið skrifaður $300$ sinnum og summa þeirra allra því $$300\cdot(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=300\cdot 45=13.500.$$

Dæmi 19. Neðra stig 1996-97

Tölurnar $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ eru núllstöðvar margliðunnar $$P(x)=x^7+a_1x^5+a_2x^4+a_3x^3+a_4x^2+a_5x+a_6$$ Í upptalninguna á núllstöðvunum vantar eina núllstöð, hver er hún?

Lausn

Almennt gildir að ef $r_1,\ldots,r_n$ eru núllstöðvar $n$-ta stigs margliðu $Q(x)$ með forystustuðul $1$, þá er $$ \begin{aligned} Q(x)&=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)\\ &=x^n-(r_1+\cdots+r_n)x^{n-1}+\cdots+(-1)^nr_1\cdots r_n. \end{aligned} $$ Stuðullinn við næst hæsta veldið er því alltaf summa núllstöðvanna með öfugu formerki. Í margliðunni $P(x)$ er stuðullinn við næst hæsta veldið $0$, svo að summa núllstöðvanna er $0$. Því er núllstöðin sem vantar $-21$.

Dæmi 20. Neðra stig 1996-97

Á myndinni má sjá hring með miðju í $A$ og geisla $9$, og annan minni hring með miðju í $D$ og geisla $4$. Sameiginlegir snertlar $B C$ og $E F$ eru dregnir. Ákvarðið lengd $E F$

Lausn

Skurðpunktur tveggja snertla við hring hefur sömu fjarlægð frá snertipunktunum. Því er $|E F|=|B F|$ og $|E F|=|F C|$. Þá er $|B C|=|B F|+|F C|=2\cdot |E F|$. Drögum nú línu í gegnum $D$ sem er samsíða $B C$ og táknum skurðpunkt þessarar línu við $A B$ með $G$. Þá er $|B C|=|G D|$. Lengd $G D$ má reikna með reglu Pýþagorasar, $$|D G|=\sqrt{|A D|^2-|A G|^2}=\sqrt{(9+4)^2-(9-4)^2} =\sqrt{4\cdot4\cdot9}=12.$$ Þá er $2\cdot |EF|=12$, svo $|EF|=6$.

Dæmi 21. Neðra stig 1996-97

Reitir í $n \times n$ borði eru númeraðir með tölunum frá $1$ upp í $n^2$ á sama hátt og sýnt er í dæminu fyrir $n=5$ hér til hliðar. Nú er valin ein tala úr hverri röð, en þó þannig að engar tvær þeirra séu í sama dálki. Hvaða útkomur eru mögulegar þegar völdu tölurnar eru lagðar saman?

Lausn

Hver reitur ákvarðast af dálknúmeri sínu, $i$, á bilinu frá $1$ upp í $n$, og línunúmeri sínu, $j$, sem við veljum þannig að fyrsta röðin fær númerið $0$, svo að $j$ liggur á bilinu frá $0$ upp í $n-1$. Talan í reit með dálknúmeri $i$ og línunúmeri $j$ er þá $i+jn$. Hvert dálknúmer kemur nákvæmlega einu sinni fyrir og hvert línunúmer kemur líka nákvæmlega einu sinni fyrir í völdu tölunum svo að summan verður $$ \begin{aligned} &\underbrace{1+2+\cdots+n}_{\text{dálknúmer}} +\underbrace{0+n+2n+\cdots+(n-1)n}_{\text{línunúmer}} \\ =&(1+2+\cdots+n)+(0+1+\cdots+(n-1))n\\ =&\frac{1}{2}n(n+1)+\frac{1}{2}(n-1)n^2 \\ =&\frac{1}{2}n(n^2+1). \end{aligned} $$ Þegar $n=5$, þá er svarið $65$.

Dæmi 22. Neðra stig 1996-97

Þrír hringir liggja eins og sýnt er á myndinni. Miðjur minni hringanna tveggja liggja á miðstreng þess stóra. Einnig er gefið að lengd striksins $P Q$ er $8$, og $P Q$ er snertill við báða minni hringina. Reiknið flatarmál skyggða svæðisins.

Lausn

Táknum miðjur hringanna með $O, O_1$ og $O_2$, en geislar þeirra með $r, r_1$ og $r_2$ eins og sýnt er á myndinni. Látum $M$ tákna miðpunkt striksins $P Q$ og $x$ lengd striksins $O M$. Þá er $r=r_1+r_2$ og ennfremur er $$ \begin{aligned} r^2&=x^2+|MP|^2=x^2+16,\ 2r_1=r+x, \\ 2r_2&=r-x. \end{aligned} $$ Flatarmálið á skyggða svæðinu fæst með því að draga flatarmál litlu hringanna tveggja frá flatarmáli stóra hringsins, og er $$ \begin{aligned} \pi(r^2-r_1^2-r_2^2) & = \pi((r_1+r_2)^2-r_1^2-r_2^2) = 2\pi r_1r_2 \\ &=2\pi\cdot\frac{r+x}{2}\cdot\frac{r-x}{2} = 2\pi\frac{1}{4}(r^2-x^2)= \frac{1}{2}\pi\cdot 16 = 8\pi. \end{aligned} $$

Dæmi 13. Neðra stig 1996-97

Innan í hring með geisla $2$ liggja tveir hringir með geisla $1$ þannig að þeir snertast í miðpunkti stóra hringsins. Til viðbótar er svo dreginn fjórði hringurinn eins og sýnt er á myndinni. Hver er geisli minnsta hringsins?

Lausn

Látum $r$ tákna geisla minnsta hringsins og látum $A, B$ og $C$ vera miðpunkta hringanna með geisla $r$, 1 og 2. Nú er þríhyrningurinn $A B C$ rétthyrndur svo að regla Pýþagorasar gefur að $$(1+r)^2=|AB|^2=|BC|^2+|AC|^2=1+(2-r)^2.$$ Þegar við einföldum þessa jöfnu fæst að $6r=4$ þannig að $r=\frac{2}{3}$.

Dæmi 14. Neðra stig 1996-97

Fjarlægðin á milli tveggja nærliggjandi punkta á myndinni er $1$. Hvert er flatarmál skyggða svæðisins?

Lausn

Skiptum svæðinu upp eins og sýnt er á myndinni. Flatarmál minni svæðanna er þá eins og merkt er á myndinni og flatarmál stóra svæðisins því $4+2\cdot 3+5\cdot 1=15$.

Hér mætti einnig nota setningu Picks. Hún segir að flatarmál marghyrnings með hornpunkta sem hafa heiltöluhnit sé $I+R/2-1$ þar sem $I$ er fjöldi punkta með heiltöluhnit innan í marghyrningnum og $R$ er fjöldi punkta með heiltöluhnit á jaðri hans. Fáum þá að $9+14/2-1=9+7-1=15$.

Dæmi 15. Neðra stig 1996-97

Á myndinni hér fyrir neðan má sjá ellefu ferningslaga spjöld sem hafa verið lögð á borð. Í hvaða röð voru fyrstu sjö spjöldin lögð á borðið?

Lausn

Lítum á spjald $F$. Undir því liggur spjald $E$, sem aftur liggur ofan á spjaldi $D$. Spjöld $C$ og $G$ liggja bæði undir $D$. Ef spjald $G$ lægi ofaná spjaldi $C$, þá myndi sjást í spjald $G$ milli spjalda $B$ og $D$. Svo er hinsvegar ekki og því liggur spjald $C$ ofan á spjaldi $G$. Þau spjöld sem við höfum þegar nefnt voru því lögð niður í röðinni $G$, $C$, $D$, $E$, $F$. Nú er spjald $A$ undir spjaldi $B$, spjald $I$ undir spjaldi $A$ og spjald $J$ undir spjaldi $I$. Spjöldin $H$, $K$ og $F$ eru öll undir spjaldi $J$. Nú sést í hornið á spjaldi $H$ milli spjalda $J$ og $B$ ofan á spjaldi $F$ og því liggur spjald $H$ ofan á spjaldi $F$ og ljóst er að spjald $K$ liggur ofan á spjaldi $H$. Sjáum þá að síðustu $7$ spjöldin voru lögð á borðið í röðinni $F$, $H$, $K$, $J$, $I$, $A$, $B$.

Dæmi 16. Neðra stig 1996-97

Í Langtíburtistan er haldin stærðfræðikeppni sem í eru $25$ dæmi. Fyrir rétt svar eru gefin $4$ stig en eitt stig er dregið frá fyrir rangt svar. Keppandi sem svaraði öllum spurningunum fékk $70$ stig. Hvað svaraði hann mörgum spurningum rétt?

Lausn

Ef keppandinn svaraði $x$ dæmum rétt, þá svaraði hann $25-x$ dæmum rangt því hann svaraði öllum dæmunum í keppninni. Hann hlaut þá $4x$ stig fyrir rétt svör en frá voru dregin $25-x$ stig fyrir röng svör. Hann hlaut $70$ stig svo að $4x-(25-x)=70$. Þá er $5x=95$ svo að $x=19$.