Lengdir, flatarmál og rúmmál

Dæmi 22. Neðra stig 1996-97

Þrír hringir liggja eins og sýnt er á myndinni. Miðjur minni hringanna tveggja liggja á miðstreng þess stóra. Einnig er gefið að lengd striksins $P Q$ er $8$, og $P Q$ er snertill við báða minni hringina. Reiknið flatarmál skyggða svæðisins.

Lausn

Táknum miðjur hringanna með $O, O_1$ og $O_2$, en geislar þeirra með $r, r_1$ og $r_2$ eins og sýnt er á myndinni. Látum $M$ tákna miðpunkt striksins $P Q$ og $x$ lengd striksins $O M$. Þá er $r=r_1+r_2$ og ennfremur er $$ \begin{aligned} r^2&=x^2+|MP|^2=x^2+16,\ 2r_1=r+x, \\ 2r_2&=r-x. \end{aligned} $$ Flatarmálið á skyggða svæðinu fæst með því að draga flatarmál litlu hringanna tveggja frá flatarmáli stóra hringsins, og er $$ \begin{aligned} \pi(r^2-r_1^2-r_2^2) & = \pi((r_1+r_2)^2-r_1^2-r_2^2) = 2\pi r_1r_2 \\ &=2\pi\cdot\frac{r+x}{2}\cdot\frac{r-x}{2} = 2\pi\frac{1}{4}(r^2-x^2)= \frac{1}{2}\pi\cdot 16 = 8\pi. \end{aligned} $$

Dæmi 10. Neðra stig 1996-97

Lengd kassa vex um $2\%$ og breidd hans um $3\%$, en hæð hans minnkar um $5\%$. Hvernig breytist rúmmál kassans?

Lausn

Segjum að upphaflega hafi lengd kassans verið $l$, breidd hans $b$ og hæð hans $h$. Upphaflega rúmmálið var þá $l\cdot b\cdot h$. Eftir breytinguna er lengdin $\text{1,02}\cdot l$, breiddin $\text{1,03}\cdot b$ og hæðin $\text{0,95}\cdot h$. Rúmmálið eftir breytingu er þá $$ \begin{aligned} (\text{1,02}\cdot l)\cdot (\text{1,03}\cdot b)\cdot (\text{0,95}\cdot h)&=\text{1,02}\cdot \text{1,03}\cdot \text{0,95}\cdot lbh\\ &=(1+\text{0,02})\cdot(1+\text{0,03})\cdot \text{0,95}\cdot lbh\\ &\lt (1+\text{0,05})\cdot(1-\text{0,05})\cdot lbh\\ &=(1-\text{0,0025})\cdot lbh\\ &\lt lbh \end{aligned} $$ svo það minnkar.

Dæmi 14. Neðra stig 1996-97

Fjarlægðin á milli tveggja nærliggjandi punkta á myndinni er $1$. Hvert er flatarmál skyggða svæðisins?

Lausn

Skiptum svæðinu upp eins og sýnt er á myndinni. Flatarmál minni svæðanna er þá eins og merkt er á myndinni og flatarmál stóra svæðisins því $4+2\cdot 3+5\cdot 1=15$.

Hér mætti einnig nota setningu Picks. Hún segir að flatarmál marghyrnings með hornpunkta sem hafa heiltöluhnit sé $I+R/2-1$ þar sem $I$ er fjöldi punkta með heiltöluhnit innan í marghyrningnum og $R$ er fjöldi punkta með heiltöluhnit á jaðri hans. Fáum þá að $9+14/2-1=9+7-1=15$.

Dæmi 15. Neðra stig 1995-96

Á myndinni má sjá sex mismunandi aðferðir til að pakka saman sex gosdrykkjadósum. Utan um dósirnar er bundinn þráður sem teygist ekki. Í sumum tilvikum hefur þráðurinn utan um dósirnar sömu lengd. Í hve mörgum tilvikum fáum við minnstu mögulegu lengd?

Lausn

Byrjum á að athuga að á hverri mynd er sá hluti bandsins sem liggur upp að dósunum samtals ummál einnar dósar. Okkur nægir því að athuga lengd beinu kaflanna sem liggja ekki upp að dósunum. Slíkur kafli milli tveggja dósa sem snertast er alltaf $2 r$ að lengd þar sem $r$ er geisli dósanna. Þar sem dósirnar eru allar í röð eru $10$ slíkir kaflar en $6$ á öllum hinum myndunum nema þeirri þar sem fimm dósum er raðað í kringum eina. Þar eru $4$ slíkir kaflar og einn að auki. Ef við sýnum að lengd fimmta kaflans er minni en $4 r$, þá er ljóst að minnsta lengdin á snærinu fæst með slíkri pökkun. En nú er lengd þess kafla jöfn tvöfaldri hæðinni í jafnhliða þríhyrningi með hliðarlengdir $2 r$ sem er augljóslega minna en tvöföld hliðarlengd þríhyrninganna eða $4 r$. Við fáum því minnstu mögulegu lengd í aðeins einu tilfelli.

Dæmi 19. Neðra stig 1995-96

Þríhyrningurinn $A B C$ á myndinni er rétthyrndur, auk þess er $|D E|=\frac{1}{4}|A B|$. Hvað er flatarmál skyggða rétthyrnda ferhyrningsins stór hluti af flatarmáli þríhyrningsins?

Lausn

Setjum $a=|B C|$, $b=|A C|$ og $c=| A B |$. Þá er $| D E |=\frac{1}{4}c$. Látum $F$ og $G$ vera hornpunkta rétthyrningsins sem liggja á hliðunum $B C$ og $AC$. Þríhyrningarnir $F G C$ og $A B C$ eru einslaga svo að $$ \frac{|C F|}{\frac{1}{4}c}=\frac{|C F|}{|F G|}=\frac{|B C|}{|A B|}=\frac{a}{c}$$ og því $|C F|=\frac{1}{4}a$. Þríhyrningarnir $F B E$ og $A B C$ eru einnig einslaga svo að $$ \frac{|E F|}{\frac{3}{4}a}=\frac{|E F|}{|B F|}=\frac{|A C|}{|A B|}=\frac{b}{c}$$ og því $|E F|=\frac{3 a b}{4 c}$. Hlutfallið milli flatarmála rétthyrningsins $D E F G$ og þríhyrningsins $A B C$ er þá $$\frac{|D E F G|}{|A B C|}=\frac{|E F|\cdot |D E|}{\frac{1}{2}|A C|\cdot | B C |} =\frac{\frac{3 a b}{4 c}\cdot \frac{1}{4}c}{\frac{1}{2}a b}=\frac{3}{8}.$$

Dæmi 2. Neðra stig 1995-96

Rétthyrningi með kantlengdirnar $5$ og $10$ er skipt í fjóra þríhyrninga eins og myndin sýnir. Flatarmál tveggja þríhyrninga er sýnt á myndinni. Flatarmál svæðisins sem merkt er með $A$ er

Lausn

Lítum fyrst á þríhyrninginn sem hefur flatarmál $18$. Hæðin á hliðina sem hefur lengd $5$ í þeim þríhyrningi er $\frac{2\cdot 18}{5}=\frac{36}{5}$. Hæðin á hliðina sem hefur lengd $5$ í þríhyrningnum sem er merktur $A$ er þá $10-\frac{36}{5}=\frac{50-36}{5}=\frac{14}{5}$ svo að flatarmál svæðisins $A$ er $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{14}{5}=7$.

Dæmi 6. Neðra stig 1995-96

Sexhyrnd stjarna er mynduð með því að framlengja hliðarnar í reglulegum sexhyrningi. Ef ummál sexhyrningsins er $21$, þá er ummál stjörnunnar

Lausn

Þegar við framlengjum hliðarnar fáum við jafnhliða þríhyrninga á hverja hlið sexhyrningsins. Í stað hverrar hliðar sexhyrningsins koma þá hinar tvær hliðarnar á þríhyrningunum. Sjáum þá að ummálið tvöfaldast og verður því $2\cdot 21=42$.

Dæmi 7. Neðra stig 1994-95

Flatarmál skyggða svæðisins á myndinni er

Lausn

Ef við klippum ferning með hliðarlengdir $16$ eftir hornalínunum, þá fáum við óskyggðu þríhyrningana fjóra á myndinni. Flatarmál óskyggða svæðisins er þá $16^2$ svo að flatarmál skyggða svæðisins er $$20^2-16^2=(20-16)(20+16)=4\cdot 36=120+24=144.$$

Dæmi 7. Efra stig 1993-94

Myndin sýnir jafnhliða þríhyrning, sem er innritaður í ferning. Hvert er hlutfall flatarmáls jafnhliða þríhyrningsins og skyggða þríhyrningsins.

Lausn

Byrjum á að athuga að óskyggðu rétthyrndu þríhyrningarnir tveir á myndinni eru eins því þær hliðar sem eru sameiginlegar jafnhliða þríhyrningnum eru jafn langar og þær hliðar sem eru sameiginlegar ferningnum eru jafn langar. Því eru þriðju hliðar þeirra einnig jafn langar og því skyggða svæðið rétthyrndur jafnarma þríhyrningur. Látum $x$ vera lengd skammhliða hans og $y$ vera langhliðina, sem er jafnframt hliðarlengd jafnhliða þríhyrningsins. Þegar við beitum reglu Pýþagorasar á skyggða þríhyrninginn fáum við að $y^2=x^2+x^2=2x^2$. Þegar við beitum reglu Pýþagorasar á rétthyrnda þríhyrninginn sem við fáum þegar við drögum hæðina í jafnhliða þríhyrningnum fáum við að hæðin er jöfn $$\sqrt{y^2-\frac{1}{4}y^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}y.$$ Hlutfallið milli flatarmála jafnhliða þríhyrningsins og skyggða þríhyrningsins er þá $$ \frac{\frac{1}{2}y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}y}{\frac{1}{2}x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{y^2}{x^2}=\sqrt{3}.$$

Dæmi 18. Neðra stig 1993-94

Á myndinni er þríhyrningurinn $ABC$ jafnarma með topphorn $\angle A$, og hringurinn hefur miðju í $O$. Hvert er flatarmál örvarinnar $A B O C$?

Lausn

Látum $D$ vera miðpunkt $B C$. Þar sem miðpunktur umritaðs hrings þríhyrnings er skurðpunktur miðþverla hliðanna, þá er $O D$ hornrétt á $B C$. Þar sem þríhyrningurinn $A B C$ er jafnarma með topphorn í $A$, þá liggur $A$ á miðþverli $B C$. En þá liggja punktarnir $A$, $O$ og $D$ allir á sömu línunni sem er hæðin á $B C$ í þríhyrningnum $A B C$. Höfum þá að flatarmál $A B O C$ er $$ \begin{aligned} |A B O C|&=|A B C|-|O B C|=\frac{1}{2}\cdot|B C|\cdot|AD|-\frac{1}{2}\cdot|B C|\cdot|O D| \\ &=\frac{1}{2}r(r+h)-\frac{1}{2}rh=\frac{1}{2}r^2 \end{aligned} $$ þar sem $h=|O D|$.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 22. Neðra stig 1996-97

Dæmi 10. Neðra stig 1996-97

Dæmi 14. Neðra stig 1996-97

Dæmi 15. Neðra stig 1995-96

Dæmi 19. Neðra stig 1995-96

Dæmi 2. Neðra stig 1995-96

Dæmi 6. Neðra stig 1995-96

Dæmi 7. Neðra stig 1994-95

Dæmi 7. Efra stig 1993-94

Dæmi 18. Neðra stig 1993-94

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK