Skip to Content

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1996-97

Sannið að ef teknar eru einhverjar $18$ þriggja stafa tölur í röð, þá er að minnsta kosti ein þeirra deilanleg með þversummu sinni.

Dæmi 18. Efra stig 1996-97

Er til náttúrleg tala $n$ þannig að þegar talan er rituð í tugakerfi þá er síðasti tölustafurinn ekki $0$, og þegar röð tölustafanna er snúið við þá fæst talan $2 n$?

Dæmi 8. Neðra stig 1996-97

Þversumma tölunnar $10^{96}-96$ er

Dæmi 12. Neðra stig 1996-97

Fimm punktar á hring eru númeraðir $1$, $2$, $3$, $4$ og $5$ eins og sýnt er á myndinni. Fló hoppar á milli punktanna réttsælis þannig að ef hún er í punkti með oddatölunúmeri, þá hoppar hún í næsta punkt, en ef númer punktsins er slétt tala þá hoppar hún yfir einn punkt. Ef flóin byrjar í punkti $5$, í hvaða punkti verður hún þá eftir $1996$ hopp?




Dæmi 19. Efra stig 1995-96

Sannið að til sé náttúruleg tala $n$ þannig að $$1996^{1995}\lt 1995^n\lt 1996^{1996}.$$

Dæmi 5. Úrslitakeppni 1995-96

(a) Sýnið fram á að öll margfeldi af tölunni $99$, frá og með $1\cdot 99$ til og með $100\cdot 99$, hafi þversummuna $18$.

(b) Sýnið fram á að öll heil margfeldi af tölunni $10^n-1$, frá og með $1\cdot(10^n-1)$ til og með $10^n\cdot (10^n-1)$, hafi þversummuna $n\cdot 9$.

Dæmi 18. Neðra stig 1995-96

Hver er $1995$. aukastafurinn þegar almenna brotið $\frac{1}{13}$ er skrifað sem tugabrot?

Dæmi 22. Neðra stig 1995-96

Hver eru möguleg gildi á tölu $n\gt 9$ þannig að $n$ börn geti skipt $9$ eins súkkulaðistykkjum jafnt á milli sín án þess að skipta nokkru stykki í fleiri en tvo hluta.

Dæmi 2. Úrslitakeppni 1994-95

Látum $a_1,\dots,a_n$ vera ólíkar oddatölur, þannig að engin frumtala stærri en 5 gangi upp í neinni þeirra. Sýnið að $$ \frac 1{a_1}+\cdots +\frac 1{a_n} \lt 2. $$

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1994-95

Látum $m$ og $n$ vera náttúrlegar tölur og gerum ráð fyrir að talan $24$ gangi upp í $m n+1$. Sýnið að $24$ gengur upp í $m+n$.

Syndicate content