1994-95 | stæ.is

Dæmi 18. Efra stig 1994-95

Látum $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ vera fall sem er skilgreint fyrir allar rauntölur og sem uppfyllir fyrir allar rauntölur $x$ að $$f(x+19)\leq f(x)+19\quad\text{og}\quad f(x+94)\geq f(x)+94.$$
Sýnið að $f(x+1)=f(x)+1$ fyrir allar rauntölur $x$.

Lausn

Athugum að með endurtekningu fáum við $$ f(x+19a)\leq f(x)+19 a \quad\quad \text{ og } \quad\quad f(x+94b)\geq f(x)+94 b $$ ef $a$ og $b$ eru náttúrlegar tölur. Með því að skipta á $x$ og $x-19a$ í fyrri ójöfnunni og $x-94b$ í þeirri síðari, þá fáum við $$ f(x)\leq f(x-19a)+19a \quad\quad \text{ og } \quad\quad f(x)\geq f(x-94b)+94b $$ svo að $$ f(x-19 a)\geq f(x)-19 a \quad\quad \text{ og } \quad\quad f(x-94 b)\leq f(x)-94 b. $$ Nú skulum við gera ráð fyrir að hægt sé að velja náttúrlegar tölur $a$ og $b$ þannig að $19a-94b=1$. Þá er $$ \begin{aligned} f(x+1)&=f(x+19a-94 b)\leq f(x+19a)-94 b\\ &\leq f(x)+19a-94b = f(x)+1. \end{aligned} $$ Ef hinsvegar til eru náttúrlegar tölur $c$ og $d$ þannig að $94c-19 d=1$, þá fáum við $$ \begin{aligned} f(x+1)&=f(x+94 c -19d)\geq f(x+94d)-19 d\\ &\geq f(x)+94 c-19 d = f(x)+1. \end{aligned} $$ Af tveimur síðustu ójöfnunum fáum við $f(x+1)=f(x)+1$. Nú er $19\cdot 5=95$ og þar með getum við vallið $a=5$ og $b=1$. Til þess að ákvarða $c$ og $d$, þá athugum við að $$ \begin{aligned} 94\cdot (-1) + 19\cdot 5=1\\ 94\cdot 19+19\cdot (-94)=0. \end{aligned} $$ Ef við leggjum þessar tvær jöfnur saman, þá fáum við að hægt er að velja $c=18$ og $d=89$.

Dæmi 19. Efra stig 1994-95

Á stofugólfinu hjá Jörmunreki er stór ljótur hringlaga blettur með geisla $2$ metrar. Í fórum sínum á Jörmunrekur sjö hringlaga mottur sem hver um sig hefur geisla $1$ metra. Sýnið að Jörmunrekur getur breitt motturnar sjö á stofugólfið þannig að þær hylji blettinn ljóta algjörlega.

Lausn

Við byrjum á að setja eina mottu á miðjan blettinn. Síðan innritum við reglulegan sexhyrning innan í blettinn. Hliðar hans hafa allar lengdina 2 því hornalínur sexhyrningsins í gegnum miðju blettsins skipta honum í 6 eins jafnhliða þríhyrninga. Fyrir hverja hlið sexhyrningsins breiðum við svo eina mottu á gólfið þannig að miðja hennar lendi á miðpunkti hliðarinnar. Við sýnum nú að motturnar hylji blettinn.

Ef við getum sýnt fram á að mottan í miðjunni og mottan með miðju í punktinum $M$ hylji tilsvarandi geira, þá er ljóst að motturnar sjö hylja blettinn. Við lítum á þríhyrninginn $M P Q$ þar sem $P$ er annar endapunktur hliðar sexhyrningsins sem $M$ liggur á og $Q$ er miðpunktur striksins frá miðju blettsins að $P$. Þríhyrningurinn $MPQ$ er jafnhliða því að $|P Q|=1$, $|M P|=1$ og $\angle Q P M=60^\circ$. Þá er $|M Q|=1$ og þá er ljóst að allur geirinn er hulinn.

Dæmi 18. Neðra stig 1994-95

Á myndinni er $|A B|=|A C|$ og $|C B|=|C P|=|P Q|=|A Q|$. Finnið hornið $B A C$.

Lausn

Táknum hornið $\angle BAC$ með ${\alpha}$ og hornið $\angle A B C$ með ${\beta}$. Fyrst $|A Q|=|P Q|$, þá er $\angle A P Q={\alpha}$ og þar með $\angle P Q C=2{\alpha}$. Nú er $|P Q|=|P C|$ og því er einnig $\angle P C Q=2\alpha$ svo að $\angle C P Q=180^\circ-4\alpha$. Einnig er $|C B|=|C P|$ svo að $\angle B P C=\beta$ og því er summa hornanna þriggja með toppunkt $P$ jöfn \begin{align*} 180^\circ&=\angle A P Q+\angle Q P C+\angle B P C\\ &=\alpha+(180^\circ-4\alpha)+\beta=180^\circ-3\alpha+\beta. \end{align*} Þá er $\beta=3\alpha$. Þar sem $|A B|=|A C|$, þá er $\angle B C A=\beta$. Summa horna þríhyrningsins $B P C$ er $180^\circ$ svo \begin{align*} 180^\circ&=\angle B P C+\angle P B C+\angle B C P\\ &=\beta+\beta+(\beta-2\alpha)=3\beta-2\alpha=9\alpha-2\alpha=7\alpha \end{align*} og því $\alpha=(180/7)^\circ=\left(25\frac{5}{7}\right)^\circ$.

Dæmi 19. Neðra stig 1994-95

Notaðar eru eldspýtur til að búa til myndir eins og hér til hliðar. Ef haldið er áfram á sama hátt, hvað þarf þá margar eldspýtur til að búa til svona mynd með 10 eldspýtur á hverri hlið?

Lausn

Athugum að við getum búið til myndina með hliðarlengd $n$ út frá mynd með hliðarlengd $n-1$ með því að raða þríhyrningum sem eru búnir til úr þremur eldspýtum á hvern punkt á einni hliðinni sem hefur lengd $n-1$. Ef $a_n$ táknar fjölda eldspýta sem þarf til að búa til mynd með hliðarlengd $n$, þá er því $a_n=a_{n-1}+3(n-1)$. Fáum að $$ \begin{aligned} a_{10}&=a_9+3\cdot 9=a_8+3\cdot 8+3\cdot 9=\cdots=a_1+3\cdot (2+3+\cdot+10)\\ &=3\cdot (1+2+\cdots+10)=3\cdot 5\cdot 11=150+15=165. \end{aligned} $$

Dæmi 20. Neðra stig 1994-95

Hver er summa allra þriggja stafa talna sem innihalda bara tölustafina $1, 3, 5, 7, 9$.

Lausn

Við ætlum að leggja saman allar tölur af gerðinni $$ x\cdot 100+y\cdot 10+z, $$ þar sem $x,y$ og $z$ eru oddatölur á bilinu $1$ til $9$. Í hverju sæti kemur hver talnanna $1,3,5,7$ og $9$ fyrir $25$ sinnum því þegar við höfum valið eina þeirra í eitt sætið, þá má velja tölur í hin sætin á $5\cdot5=25$ vegu. Því er summan $$ (1+3+5+7+9)\cdot 25\cdot(100+10+1)=25\cdot 25\cdot 111=69.375. $$

Dæmi 21. Neðra stig 1994-95

Í hvert svæðanna A, B, C, D, E, F, G er í byrjun lögð króna þannig að þorskurinn snúi upp. Tvær aðgerðir eru leyfilegar: (1) snúa öllum krónunum innan einhvers hringsins við; (2) sjá til þess að þorskurinn snúi upp á öllum krónunum innan einhvers hrings.

Lausn

(a) Eftirfarandi myndaruna sýnir hvernig þetta er gert (ef þorskurinn snýr upp sýnum við það með hvítum hring en svörtum ef risinn snýr upp):

Á mynd (a) er beitt aðgerð (1) á hring I til að fá mynd (b). Á mynd (b) er beitt aðgerð (2) á hring II til að fá mynd (c). Á mynd (c) er beitt aðgerð (1) á hring II til að fá mynd (d). Á mynd (d) er beitt aðgerð (2) á hring III til að fá mynd (e). Á mynd (e) er beitt aðgerð (1) á hring III til að fá mynd (f).

(b) Við sýnum: Í hverri stöðu sem upp getur komið er að minnsta kosti einn hringur með sléttum fjölda risa. Þar með getur sú staða að risinn snúi aðeins upp á krónunni á svæði $A$ ekki komið upp.

Í upphafi eru $0$ risar í öllum hringunum svo þeir innihalda allir sléttan fjölda af risum. Eftir að við höfum gert nokkrar aðgerðir skulum við gera ráð fyrir því að minnsta kosti einn hringur hafi sléttan fjölda risa í reitum sínum. Án takmörkunar getum við gert ráð fyrir að það sé hringur I. Ef aðgerð (2) er framkvæmd í næsta skrefi, þá fæst hringur með $0$ risa. Ef aðgerð (1) er framkvæmd á hring I, þar sem $0$, $2$ eða $4$ risar snúa upp, þá snúa $4-0=4$, $4-2=2$ eða $4-4=0$ risar upp eftir aðgerðina. Ef aðgerð (1) er framkvæmd á hring II eða III, en með því að skipta hugsanlega um nöfn á hringum II og III getum við gert ráð fyrir að það sé hringur II, þá gildir eitt af tvennu: (i) Ef krónurnar tvær sem liggja í báðum hringunum I og II snúa mismunandi, þá gera þær það áfram eftir að aðgerðin hefur verið framkvæmd og því hefur fjöldi risa í hring I ekki breyst. (ii) Ef krónurnar tvær sem liggja í báðum hringunum I og II snúa eins, þá annaðhvort fjölgar eða fækkar risunum í hring I um tvo og því áfram slétt tala.

Við höfum þá séð að það er alltaf til hringur sem hefur sléttan fjölda af risum og því getur það aldrei gerst að risinn snúi aðeins upp á krónunni í svæði $A$.

Login to post comments
Lesa meira

Dæmi 22. Neðra stig 1994-95

Hliðarnar í rétthyrndum þríhyrningi $A B C$ hafa lengdir $6, 8, 10$. Hringur með geisla 1 og miðju í $P$ rúllar innan í $A B C$ þannig að hann snertir alltaf eina hlið þríhyrningsins. Hversu langt hefur punkturinn $P$ farið þegar hringurinn er aftur kominn í upphaflega stöðu?

Lausn

Braut punktsins $P$ er þríhyrningur $A^\circ B^\circ C^\circ$ sem er einslaga $A B C$. Látum $D$ vera fótpunkt þverilsins á $A B$ gegnum $A^\circ$ og látum $E$ vera skurðpunkt línunnar gegnum $A^\circ$ og $D$ við strikið $A C$. Setjum $x=|A D|$ og $y=|A^\circ E|$. Látum $F$ vera fótpunkt þverilsins á $A C$ gegnum $A^\circ$. Athugum að þríhyrningarnir $A D E$ og $A^\circ F E$ eru einslaga $A B C$. Því er $$ \frac{x}{8}=\frac{|A D|}{|A B|}=\frac{|E D|}{|B C|}=\frac {1+y}6 \quad\quad \text{ og } \quad\quad \frac{1}{8}=\frac{|A^\circ F|}{|A B|}=\frac{|A^\circ E|}{|A C|}=\frac{y}{10}, $$ og þar með er $$ x=\frac{8}{6}\left(1+\frac{10}{8} \right)=3. $$ Nú sjáum við að $|A^\circ B^\circ|=8-3-1=4$ og þar með er hlutfallið milli samsvarandi hliða í þríhyrningunum $A^\circ B^\circ C^\circ$ og $A B C$ jafnt $\frac{1}{2}$. Ummál $A^\circ B^\circ C^\circ$ er þá hálft ummál $A B C$ eða $12$.

Dæmi 15. Neðra stig 1994-95

Margfeldið $$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \left(1-\frac{1}{4^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{199^2}\right)\left(1-\frac{1}{200^2}\right)$$ er jafnt og

Lausn

Athugum að $$1-\frac{1}{n^2}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right) =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}.$$ Því er margfeldið jafnt margfeldinu $$ \begin{aligned} &\frac{2-1}{2}\cdot\frac{2+1}{2}\cdot \frac{3-1}{3}\cdot \frac{3+1}{3}\cdots\frac{199-1}{199}\cdot\frac{199+1}{199}\cdot \frac{200-1}{200}\cdot \frac{200+1}{200}\\ =\;& \frac12\cdot\frac32\cdot\frac23\cdot\frac43\cdots\frac{198}{199}\cdot\frac{200}{199}\cdot\frac{199}{200}\cdot\frac{201}{200} =\frac{1}{2}\cdot \frac{201}{200}=\frac{201}{400}.\end{aligned} $$

Dæmi 16. Neðra stig 1994-95

Setjum $P=2^{1994}+2^{-1994}$ og $Q=2^{1994}-2^{-1994}$. Reiknið $P^2-Q^2$.

Lausn

Höfum að $P^2-Q^2=(P-Q)(P+Q)=2\cdot 2^{-1994}\cdot 2\cdot2^{1994}=4$.

Dæmi 17. Neðra stig 1994-95

Látum $a,b,c,d$ tákna tölustafi. Finnið fjögurra stafa tölu $a b c d$ þannig að $$9\cdot a b c d=d c b a.$$

Lausn

Nú er $9\cdot a b c d=10\cdot a b cd -a b c d=a b c d 0-a b c d$ svo jafnan $9\cdot a b c d=d c b a$ er jafngild jöfnunni $a b c d 0=a b c d+d c b a$.

Nú er summa tveggja talna í menginu ${0,1,\ldots,9}$ í mesta lagi 18 svo við þurfum í mesta lagi að geyma einn þegar við leggjum saman í einingasætinu. En þá er summan í tugasætinu mest 19 svo þar þurfum við einnig í mesta lagi að geyma einn og svo koll af kolli. Þar sem $a$ er geymdur þegar lagt er saman í þúsundasætinu sjáum við að $a=1$. Þegar við lítum á einingasætið sjáum við þá að $d=9$ og einn er geymdur svo $1+c+b$ er 9 eða 19 og þá $c+b$ jafnt $8$ eða $18$. En seinna tilfellið kemur ekki til greina því þá er nauðsynlega $b=9$ en þegar við lítum á þúsundasætin sjáum við að $b$ er annaðhvort 0 eða 1 eftir því hvort 1 er geymdur frá hundruðasætunum. Því er $c+b=8$ og þá er enginn geymdur yfir í hundruðasætið. Summan þar er því $b+c=c$ svo að $b=0$ og þá er $c=8$. Talan okkar er því $abcd=1089$ og sjálfsagt að prófa svarið með því að reikna $9\cdot 1089=9000+720+81=9801$.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 18. Efra stig 1994-95

Dæmi 19. Efra stig 1994-95

Dæmi 18. Neðra stig 1994-95

Dæmi 19. Neðra stig 1994-95

Dæmi 20. Neðra stig 1994-95

Dæmi 21. Neðra stig 1994-95

Dæmi 22. Neðra stig 1994-95

Dæmi 15. Neðra stig 1994-95

Dæmi 16. Neðra stig 1994-95

Dæmi 17. Neðra stig 1994-95

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK