Við skoðum tvær lausnir á þessu dæmi. Sú fyrri byggir á einföldu bragði en sú seinni notar þrepun.

Lausn 1: Skoðum sléttu tölurnar í margfeldinu sér og fáum tiltölulega auðveldlega að $$ \begin{aligned} (n+1)(n+2)\cdots(2n-1)(2n)&=\frac{(2n)!}{n!}\\ &= \frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots(2n-2)(2n-1)(2n)}{n!}\\ &=\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{n!}\\ &= \frac{2^nn!(1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1))}{n!}\\ &= 2^n(1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)). \end{aligned} $$ En nú blasir við að $2^n$ gengur upp í $(n+1)(n+2)\cdots(2n)$.

Lausn 2: Hér er einfalt að beita þrepasönnun. Staðhæfingin er augljóslega rétt ef $n=1$. Gerum nú ráð fyrir að $n\gt 1$ og að niðurstaðan sé rétt fyrir $n-1$. Þá gengur $2^{n-1}$ upp í $n(n+1)\cdots(2(n-1))$. Tökum nú eftir að $$ \begin{aligned} &(n+1)(n+2)\cdots(2n-2)(2n-1)(2n)\\ =\;&2(2n-1)\big(n(n+1)(n+2)\cdots(2n-2)\big). \end{aligned} $$ Þar sem að $2^{n-1}$ gengur upp í $n(n+1)\cdots(2(n-1))$, þá fáum við að $2^n$ gengur upp í $(n+1)(n+2)\cdots(2n)$.

Hér er þægilegt að nota ójöfnuna um rúmfræðilegt og venjulegt meðaltal, en hún segir í því tilfelli sem við þurfum á að halda, að ef $a, b, c$ eru frekar jákvæðar rauntölur, þá er $$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc},$$ og almennt að ef $a_1, a_2,\ldots,a_n$ eru frekar jákvæðar rauntölur, þá er $$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}.$$ Með aðstoð þessara ójöfnu getum við reiknað beint of augum og sannað niðurstöðuna $$ \begin{aligned} \left(1 + {1 \over x}\right)\left(1 + {1 \over y}\right) \left(1 + {1 \over z}\right) &=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} +\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xyz}\\ &=1+\frac{xy+yz+xz}{xyz}+\frac{x+y+z}{xyz}+\frac{1}{xyz}\\ &\geq 1+\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{xyz}+\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{xyz}+\frac{1}{xyz}\\ &= 1+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}+ \frac{1}{xyz}\\ &=\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}\right)^3\\ &\geq \left(1+\frac{3}{x+y+z}\right)^3=64. \end{aligned} $$

Látum $PQ$ vera miðstreng hrings með geisla $r$ og $O$ vera miðpunkt hans. Látum $A$, $B$ og $C$ vera hornpunkta þríhyrnings sem liggja á strikinu $PQ$ eða á hringnum þannig að engir tveir punktar séu hvor sínu megin við strikið $PQ$. Ef tveir hornpunkta þríhyrningsins eru á strikinu $PQ$, segjum $A$ og $B$, þá er $|AB|\leq 2r$ og hæðin á hliðina $AB$ getur ekki verið meiri en $r$. Flatarmál þríhyrningsins er því ekki stærra en $\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r=r^2$. Ef hinsvegar tveir hornpunktar þríhyrningsins liggja á hringnum, segjum $A$ og $B$, og $C$ liggur á strikinu $PQ$, þá er annaðhvort $O=C$ eða $O$ liggur innaní öðru hornanna $\angle CAB$ eða $\angle ABC$, segjum $\angle CAB$. Í báðum tilfellum drögum við línuna gegnum $O$ samsíða $BC$. Þá sjáum við að hæðin á hliðina $CB$ er ekki stærri en $r$ og $|BC|\leq 2r$ svo flatarmál þríhyrningsins er ekki meira en $\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r=r^2$. Ef allir punktarnir $A$, $B$ og $C$ eru á hringnum, segjum í röðinni $P$, $A$, $B$, $C$, $Q$, þá drögum við línuna í gegnum $O$ samsíða strikinu $AC$. Þá er þríhyrningurinn áfram allur sömu megin við nýju línuna og við getum því gert ráð fyrir að $AC$ sé samsíða $PQ$. En þá er ljóst að $|AC|\leq 2r$ og hæðin á hliðina $AC$ er minni en $r$ svo flatarmál $ABC$ er ekki meira en $\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r=r^2$. Höfum nú séð að flatarmál þríhyrningsins $ABC$ getur aldrei orðið meira en $r^2$. Það getur hinsvegar verið jafnt $r^2$ því ef $R$ er annar skurðpunkta hringsins við þverilinn á $PQ$ í $O$, þá er flatarmál $PQR$ einmitt $\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot r=r^2$.

Á 200 m hliðarnar þarf 41 staur en á 300 m hliðina þarf 61 staur. Hver hornstauranna þriggja er sameiginlegur tveimur hliðum svo heildar fjöldi staura er $41+41+61-3=140$. Getum einnig hugsað okkur að við séum að girða svæði með ummál 700 m. Þá þarf augljóslega 140 staura.